Propiedad Lipschitz de la multiplicación de matrices

Question

Arreglar $x \in \mathbb{R}^{d_1}$ y definir el mapa $$ \begin{aligned} F:\mathbb{R}^{d_1\times d_2 + d_2} & \rightarrow \mathbb{R}^{d_2} \\ (A,b)&\mapsto Ax+b. \end{aligned} $$

¿Es este mapa Lipschitz? Me parece que debería serlo pero tengo problemas para mostrarlo....

Answer 1

Adoptamos en ambos ${\mathbb R}^{d_2\times d_1+d_2}$ y en ${\mathbb R}^{d-2}$ la métrica euclidiana $|\cdot|$ . Es bien sabido que la norma del operador $\|A\|:=\sup_{x\ne0}{|Ax|\over|x|}$ de un mapa lineal $A$ con la matriz $[a_{ik}]$ satisface $$\|A\|\leq |A|:=\left(\sum_{i, k}|a_{ik}^2|\right)^{1/2}\ .$$ Esto significa que $|Ax|\leq |A|\>|x|$ para todos $x$ .

Denota el vector dado (fijo) en ${\mathbb R}^{d_1}$ por $c$ (en lugar de $x$ ). Sean dos puntos $(A,b)$ , $(A',b')\in{\mathbb R}^{d_2\times d_1+d_2}$ se dé. Entonces tenemos que ver $$F(A,b)-F(A',b')=(A-A')c+(b-b')\ .\tag{1}$$ Tenemos $|A-A'|\leq\bigl|(A,b)-(A',b')\bigr|\,$ y de forma similar para $|b-b'|$ . Desde $(1)$ por lo tanto, obtenemos $$|F(A,b)-F(A',b')|\leq|A-A'|\>|c|+|b-b'|\leq\bigl|(A,b)-(A',b')\bigr|\ (|c|+1)\ .$$ Esto demuestra que $F$ es continua de Lipschitz con $|c|+1$ una constante de Lipschitz aceptable.