Son cíclicos de los grupos de siempre abelian?

Question

Si un grupo de $C$ es cíclica, es también abelian (propiedad conmutativa)? Si es así, es posible dar una "fácil" explicación de por qué esto es así?

Gracias de antemano!

Answer 1

Sí, un grupo cíclico es abelian. Aquí es por qué.

Un grupo cíclico generado por un generador, vamos a llamar a esta $g$. Ahora si $a = g^m$ $b = g^n$ son los dos elementos del grupo, entonces $ab = g^{m}g^n = g^{n}g^m = ba$ (desde $g$ viajes con sí mismo).

Answer 2

Los ejercicios siguientes (en orden de dificultad creciente) va a reforzar su comprensión de las ideas presentadas anteriormente:

Ejercicio 1:

Dar un ejemplo de un grupo abelian que no cíclico.

Ejercicio 2:

Deje $G$ ser un grupo de tal forma que cada apropiado subgrupo de $G$ es cíclico. Es $G$ necesariamente cíclico?

Ejercicio 3:

Deje $G$ ser un grupo finito con un único subgrupo maximal. Demostrar que $G$ es cíclico. (Sugerencia: deje $M$ ser el único subgrupo maximal de a $G$. Recordemos que la definición de "máxima subgrupo" también requiere que el subgrupo de ser adecuada. De ahí que podamos encontrar $x\in G,x\not\in M$. Demostrar que $x$ genera $G$.)

Ejercicio 4:

Demostrar que no trivial de abelian simple grupo cíclico de primer orden. (Recordar que un grupo de $G$ se dice simple si no tiene ningún no-trivial normal subgrupos.) (Sugerencia: que los subgrupos de un grupo abelian son normales? ¿Qué se puede decir acerca de la no-trivial grupos con exactamente dos subgrupos?)

Ejercicio 5:

Deje $G$ ser un grupo finito tal que el cociente grupo $G/Z(G)$ es cíclico. Demostrar que $G$ es abelian, es decir, demostrar que $G=Z(G)$. (Recordemos que $Z(G)$ es el centro de la $G$; es decir, es el conjunto de todos los elementos en $G$ que conmuta con cada elemento de a $G$.)

Desafiantes Ejercicios:

El Ejercicio De Un:

Probar que un grupo abelian de orden $6$ es cíclico. De hecho, demostrar que hay exactamente dos clases de isomorfismo de grupos de orden $6$. También, dar a los representantes de estas clases de isomorfismo.

Ejercicio B:

Probar que un grupo de orden $p^2$ es abelian si $p$ es primo. (Sugerencia: probar primero (o use si usted no puede demostrar) que si $G$ es un grupo, entonces la $Z(G)\neq 1$, es decir, el centro de $G$ no es trivial. A continuación, considere un caso-por-caso argumento basado en el Ejercicio 5 anterior).

Ejercicio C:

Probar que todo grupo de orden $35$ es cíclico. (Sugerencia: probar primero (o use si usted no puede demostrar) que si $G$ es un grupo, entonces la $G$ tiene exactamente un subgrupo normal de orden $5$ y de orden $7$.)

Answer 3

Sí, todos los grupos cíclicos son abelian. Aquí un poco más de detalle que ayuda a hacer explícito en cuanto a los "por qué" todos los grupos cíclicos son abelian (es decir, conmutativa).

Deje $G$ ser un grupo cíclico y $g$ ser un generador de $G$. Deje $a,b \in G$. Desde $g$ es un generador de $G$, todos los elementos en $G$ puede ser expresado como parte integrante de los poderes de $g$ (o en el caso de que el grupo de operación $G$ es aditivo, todos los elementos de a $G$ se puede expresar múltiplos de $g$). Entonces no existe $x,y \in \mathbb {Z}$ tal que $a=g^x$ $b=g^y$ (o $a = xg$$b = yg.$). Desde $ab=g^xg^y=g^{x+y}=g^{y+x}=g^yg^x=ba$, (o $a+b = xg+ yg= yg + xg = b + a$) se deduce que $G$ es abelian.

Esta prueba ayuda a mostrar lo que Qia significa que en el primer comentario de arriba por "un elemento siempre los viajes con los poderes de sí mismo." La clave con la cíclico de los grupos es que todos los elementos de un grupo cíclico puede ser expresado en términos de un elemento en el grupo: como parte integrante del poder (o varios) de los del grupo generador. (Si un grupo de $G$ tiene más de un generador, cada elemento en $G$ puede ser expresada en términos de cada uno de los del grupo de generadores).

Answer 4

La fácil explicación es que los exponentes son enteros y enteros adición es conmutativa: $g^m g^n = g^{m+n} = g^{n+m} = g^n g^m$.

El más difícil explicación es que todos los grupos cíclicos son homomórfica imágenes de $\mathbb Z$, que es abelian.

Answer 5

Sí, cíclico grupos Abelian.

Por ejemplo, considere la posibilidad de G tales que

$$ \begin{array}{|c| c c c} & g^{0} & g^{1} & g^{2}\\\hline g^{0} & g^{0} & g^{1} & g^{2}\\ g^{1} & g^{1} & g^{2} & g^{0}\\ g^{2} & g^{2} & g^{0} & g^{1} \end{array} $$

Donde $g^{0}$ es la identidad.

Sólo pensé en añadir una descripción visual desde las explicaciones textuales ya estaban cubiertos.

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