Encuentra un número positivo $\delta<2$ tal que $|x−2| < \delta \implies |x^2−4| < 1$

Question

Tengo que encontrar un número positivo $\delta<2$ tal que $|x2| < \delta \implies |x^24| < 1$ .

Sé que $ \delta =\frac{1}{|x+2|} $ tiene este comportamiento, pero no se garantiza que sea inferior a dos. No sé qué más hacer. Gracias.

Answer 1

La elección $\frac{1}{|x+2|}$ es inadecuado por una razón más fundamental. Queremos una $\delta$ tal que para cualquier $x$ tal que $|x-2|\lt \delta$ tenemos $|x^2-4|\lt 1$ . Así que en particular $\delta$ no debe depender de $x$ . A continuación, procedemos a encontrar un $\delta$ .

Tenga en cuenta que $|x^2-4|=|x-2||x+2|$ . Podemos hacer $|x-2|$ pequeño eligiendo $\delta$ pequeño, pero el $|x+2|$ término podría estropear las cosas.

Supongamos, sin embargo, que hacemos $\delta=\frac{1}{5}$ . Si $|x-2|\lt \delta$ entonces $2-\frac{1}{5}\lt x\lt 2+\frac{1}{5}$ . Así, $x+2$ es positivo y menor que $5$ . De ello se desprende que $|x+2|\lt 5$ y, por lo tanto, si $|x-2|\lt \delta$ tenemos $$|x-2||x+2|\lt \frac{1}{5}\cdot 5=1.$$

Answer 2

Observe que : $|x^2 - 4| = |x-2||x+2| < \delta|x+2| < \delta\left(|x - 2| + 4\right) < \delta(\delta + 4) = \delta^2 + 4\delta$ . Por lo tanto, todo lo que necesitamos es resolver para $\delta$ : $\delta^2 + 4\delta < 1 \iff (\delta + 2)^2 < 5 \iff \delta + 2 < \sqrt{5} \iff \delta < \sqrt{5} - 2$ . Por ejemplo, podemos tomar: $\delta = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{2}$