Dejemos que $X(t)$ sea el número de clientes en el restaurante en el momento $t$ , suponiendo que $X(0)=0$ . Este es un $M/M/\infty$ modelo de colas: los tiempos de llegada y de servicio son exponenciales i.i.d. y no hay límite para el número de clientes que pueden ser atendidos a la vez. El proceso $\{X(t):t\geqslant 0\}$ es una cadena de Markov de tiempo continuo con generador $Q$ dado por $$ Q_{i,j} = \begin{cases} \lambda,& j=i+1\\ i\mu,& j=i-1\\ -(\lambda+i\mu),& j=i, \end{cases} $$ para enteros no negativos $i,j$ . La distribución de $X(t)$ es Poisson con tasa $$ m(t) = \int_0^t \lambda(s)(1-G(t-s))\ \mathsf ds, $$ donde $\lambda$ es la tasa de llegada y $G$ la función de distribución de los tiempos de servicio. Para ver esto, fije $t\geqslant 0$ y considerar una llegada a la hora $u$ donde $0\leqslant s\leqslant t$ . El cliente está en el sistema en el momento $t$ si su tiempo de servicio es superior a $t-s$ que tiene una probabilidad $1-G(t-s)$ . Calculamos $$ m(t) = \int_0^t \lambda e^{-\mu(t-s)}\ \mathsf ds = \lambda e^{-\mu t}\int_0^t e^{-\mu s}\ \mathsf ds = \frac\lambda\mu\left(1-e^{-\mu t}\right), $$ y como $X(t)$ tiene una distribución de Poisson, su media y varianza también son $m(t)$ .
En particular, cuando $\lambda = 300$ , $\mu=\frac32$ y $t=2$ tenemos $$ m(t) = 300\cdot\frac23\left(1-e^{-\frac32\cdot 2} \right) = 200\left(1-e^{-3}\right)\approx 190.043. $$
