Es $\pmb{\eta}\cdot\pmb{\omega_1} = (\pmb{\eta} + \pmb{1})\cdot\pmb{\omega_1}$?

Question

• $\pmb{\eta}$ - tipo de orden de $\mathbb{Q}$.
• $\pmb{1}$ - tipo de orden de un singleton conjunto.
• $\pmb{\omega_0}$ - tipo de orden de $\mathbb{N}$.
• $\pmb{\omega_1}$ - tipo de orden de la primera innumerables ordinal.

Es fácil ver que $\pmb{\eta}\cdot\pmb{\omega_0} = (\pmb{\eta} + \pmb{1})\cdot\pmb{\omega_0}$, de hecho, ambas partes se $\pmb{\eta}$.

Pregunta: Es $\pmb{\eta}\cdot\pmb{\omega_1} = (\pmb{\eta} + \pmb{1})\cdot\pmb{\omega_1}$?

Answer 1

Aquí es una propuesta de solución, no he verificado todos los detalles, pero creo que esto debería funcionar.

Deje $\mathbb Q^\ast$ ser los números racionales, además de un extremo, vamos a $A,B$ ser una partición de este conjunto de intervalos tales que $A$ es de orden tipo de $\eta$. En $\mathbb Q$ revisión de algunos de partición en dos partes $X,Y$, de forma que ambos son intervalos y $X$ es de orden tipo de $\eta+1$.

Para $\alpha<\omega_1$ escribimos $A_\alpha,B_\alpha,X_\alpha,Y_\alpha$ a las partes correspondientes en la $\alpha$-th copias de $\mathbb Q,\mathbb Q^\ast$.

Ahora vamos a definir por inducción:

• Para $\alpha=0$ simplemente envíe $A_0+B_0$ a $X_0$, e $A_1$ a $Y_0$.
• Si $\alpha$ es un ordinal límite, hacer lo mismo. Es decir, $A_\alpha+B_\alpha$ a $X_\alpha$ $A_{\alpha+1}$ a $Y_\alpha$.
• Si $\alpha=\beta+1$, envíe $B_\alpha$ a $X_\alpha$ $A_{\alpha+1}$ a $Y_\alpha$.

Está claro que llegar a ningún límite ordinal $\alpha$ tenemos un isomorfismo de $(\eta+1)\cdot\alpha$ a $\eta\cdot\alpha$, por lo que el paso que se ha dado en el límite ordinal en sí está bien definido (no necesitamos que preocuparse acerca de la incrustación $A_\alpha$ en un paso previo).

Se trata claramente de un fin de isomorfismo, y es un bijection por razones obvias.