Pruebas cuestionables en el análisis complejo visual

Question

Actualmente estoy leyendo el libro "Visual Complex Analysis". Hasta ahora es un gran libro, pero ya al principio la demostración del teorema de la identidad parece dudosa. Quiero decir, se sabe desde el álgebra de la escuela secundaria, que no se permite dividir por z si se establece z = 0.

¿No es esta prueba completamente errónea? Algunos amigos a los que he preguntado incluso me han dicho que este teorema es erróneo en los reales, así que ¿una demostración correcta no tendría que utilizar propiedades de los números complejos? ¿Es posible demostrarlo con métodos elementales? He visto pruebas que utilizan propiedades de las funciones holomorfas, pero aún no he llegado tan lejos en mi libro, así que no tengo experiencia con las funciones holomorfas.

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Answer 1

El teorema es verdadero y la demostración es válida. Sin embargo, omite un pequeño paso que es sutil. Tenemos, gracias a la primera parte de la prueba que $$\sum_{k=1}^\infty c_k z^k=\sum_{k=1}^\infty d_k z^k\\ z\left(\sum_{k=1}^\infty c_k z^{k-1}\right)=z\left(\sum_{k=1}^\infty d_k z^{k-1}\right)$$

Aquí viene la parte sutil: por cada $z\neq 0$ tenemos que

$$\sum_{k=1}^\infty c_k z^{k-1}=\sum_{k=1}^\infty d_k z^{k-1}$$

Dado que las dos series de potencias son continuas y son iguales en una vecindad punteada de $0$ deben ser iguales en $0$ también. De hecho:

$$c_1=\lim_{z\to 0}\sum_{k=1}^\infty c_k z^{k-1}=\lim_{z\to 0}\sum_{k=1}^\infty d_k z^{k-1}=d_1$$

El resto de la prueba es similar

Como nota al margen, el principio de identidad, es una característica de las funciones analíticas en general y no depende de que su dominio sea $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$

Como he mencionado, esta prueba carece de rigor. Esto es una elección intencionada del autor a lo largo del libro, como afirma en la introducción:

"Mi libro tendrá sin duda muchos fallos de los que aún no soy consciente, pero hay un "pecado" que he cometido intencionadamente y del que no me arrepentiré: muchos de los argumentos no son rigurosos, al menos tal y como están."

Answer 2

El argumento aquí es que se habla de un barrio (o incluso de un conjunto que contiene no sólo $0$ ):

Si $$c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \dots = d_0 + d_1 z + d_2 z^2 + \dots$$ para todo z en a barrio de 0, entonces $c_j = d_j \ (\forall j \in \Bbb{N}_0)$

Si estos dos sólo coinciden en $z=0$ no se puede discutir $c_j = d_j$ (por ejemplo $1 + z + z^2 + \dots = 1 + 2z + 2z^2 + \dots$ en $z=0$ ). Pero como esos dos coinciden en todo un barrio, puedes aplicar simplemente las leyes de cancelación. Después del primer paso te queda

$$z (c_1 + c_2 z + c_3 z^2 + \dots) = z(d_1 + d_2 z + d_3 z^2 + \dots)$$

Para $z=0$ no puedes concluir nada porque simplemente obtienes la tautología $0=0$ . Pero como también coinciden para los valores $z\neq 0$ la cancelación básica te deja con $$c_1 + c_2 z + c_3 z^2 + \dots = d_1 + d_2 z + d_3 z^2 + \dots$$

Ahora se enchufa $z=0$ en, obtener $c_1 = d_1$ y empezar de nuevo. Esto te deja con $c_j = d_j$ para $z\neq 0$ pero como las series de potencias son continuas también deben coincidir para $z = 0$ .

Esta prueba también muestra que su argumento no necesita los atributos específicos de los números complejos y, por lo tanto, la unicidad también es válida para las series de potencias de valor real.