Pregunta sobre la función constante

Question

El problema:

Dejemos que $f:\mathbb R \to \mathbb R$ sea una función tal que para cualquier número irracional $r$ y cualquier número real $x$ tenemos $f(x)=f(x+r)$ . Demostrar que $f$ es una función constante.

He visto los otros posts donde las respuestas dicen que $f(a)=f(0+a)=f(0)$ dado $a$ es irracional, pero no entiendo cómo se deriva esto. Por favor, ayúdenme con este problema.

Answer 1

En primer lugar, si $a$ es irracional, entonces $$ f(a) = f(0 + a) = f(0) $$ (Deja que $x=0$ y $r=a$ ).

Si $a$ es racional, entonces $$ f(a) = f((a + \pi) - \pi) = f(a + \pi) = f(0) $$ (aquí $x = a + \pi$ y $r = \pi$ y usando eso $a + \pi$ es irracional).

Por lo tanto, $f(a) = f(0)$ para todos $a \in \mathbb R$ .