¿Por qué no se puede alterar la definición de convergencia a ésta?

Question

Intento averiguar si una secuencia con la siguiente propiedad es convergente:

Dejemos que $(r_n)$ sea una secuencia de números reales. Supongamos que hay un número $r\in\mathbb{R}$ tal que para cualquier $\varepsilon>0$ existe un número $N\in\mathbb{N}$ tal que $|r-r_n|>\varepsilon$ para todos $n>N.$

Me parece que esta secuencia no es convergente, pero ¿por qué?

Answer 1

Tienes razón en que tal secuencia no puede ser convergente. Básicamente dice "Hay alguna $r$ así, para cualquier $\varepsilon>0$ que la secuencia $r_n$ es sólo en $(r-\varepsilon,r+\varepsilon)$ finitamente muchas veces". Ahora bien, lo que hace esto está claro si se empieza a elegir $\varepsilon$ para ser realmente grande. Por ejemplo, si elegimos $\varepsilon=r$ entonces $r_n$ sólo podía estar en $(0,2r)$ finitamente muchas veces - si elegimos $\varepsilon=2r$ , entonces vemos $r_n$ sólo puede estar en $(-r,3r)$ finitamente muchas veces. Haciendo esto, podemos, para un tamaño suficientemente grande $n$ , delimitando la secuencia lo más lejos posible de $r$ como queremos. En particular, podemos incluso demostrar que $|r_n|$ debe ir hasta el infinito, ya que como lo acotamos en intervalos como $((2-n)r,n\cdot r)$ para $n>2$ (que es donde elegimos $\varepsilon=(n-1)r$ ), significa que para todos los casos suficientemente grandes $n$ Debe ser que $|r_n|>(n-2)r$ . Esto significa que $r_n$ no puede converger a ningún valor finito.