Si $A= \mathbb{Z}[X]/(X^n+1)$ ¿es cierto que $A/mA \cong \mathbb{Z}_m[X]/(X^n+1)$ ?

Question

Dejemos que $R= \mathbb{Z}[X]/(X^n+1)$ para un número suficientemente grande de $n$ . Para $q \geq 2$ Quiero demostrar que $R/qR \cong \mathbb{Z}_q[X]/(X^n+1)$ .

He intentado probarlo, pero no conozco la construcción de $qR$ . De hecho,

$qR=q \left( \mathbb{Z}[X]/(X^n+1)\right)$ es igual a $(q\mathbb{Z})[X]/(X^n+1)$ Porque $X^n+1 \notin q\mathbb{Z}[X]$ . Por favor, si alguien puede entender estas cosas, y demostrar el isomorfismo (isomorfismo de anillo).

Answer 1

Consideremos la siguiente secuencia exacta de grupo abeliano: $$\{0\}\to(X^n+1)\Bbb Z[X]\to\Bbb Z[X]\to R\to\{0\}$$ Al tensar con $\Bbb Z/q\Bbb Z$ obtenemos la siguiente secuencia exacta: $$(\Bbb Z/q\Bbb Z)\otimes(X^n+1)\Bbb Z[X]\to(\Bbb Z/q\Bbb Z)\otimes\Bbb Z[X]\to(\Bbb Z/q\Bbb Z)\otimes R\to\{0\}$$ Dado que el tensado conmuta con la extensión del anillo polinómico (véase aquí para una prueba) y con cocientes (véase aquí ) obtenemos la secuencia exacta $$(\Bbb Z/q\Bbb Z)\otimes(X^n+1)\Bbb Z[X]\to(\Bbb Z/q\Bbb Z)[X]\to R/qR\to\{0\}$$ Dado que la imagen de $(\Bbb Z/q\Bbb Z)\otimes(X^n+1)\Bbb Z[X]$ en $(\Bbb Z/q\Bbb Z)[X]$ es el ideal $(X^2+1)(\Bbb Z/q\Bbb Z)[X]$ obtenemos el isomorfismo requerido $$R/qR\cong(\Bbb Z/q\Bbb Z)[X]/(X^2+1)(\Bbb Z/q\Bbb Z)[X]$$