¿Cómo demostrar que los elementos no diagonales de la matriz del sombrero (de la regresión) son limitados?

Question

Quiero demostrar esta desigualdad: $$h_{ij}^2 \le 0.25$$ donde $h_{ij}$ es un elemento de la matriz del sombrero $H = X(X'X)^{-1}X'$ del modelo de regresión lineal múltiple ( $Y = X\beta + \epsilon$ , $X$ es un $n\times p$ matriz). Sé que para los elementos diagonales tenemos: $$0 \le h_{ii} \le 1$$ y del hecho de que $H^2 = H$ y $H$ es simétrico podemos escribir $$h_{ii} = h_{ii}^2 + \sum_{i \neq j}{h_{ij}^2},$$ pero todavía no sé cómo probarlo. Tal vez no recuerdo un teorema particular del álgebra que pueda ayudar simplemente o no puedo relacionar algunos hechos de la regresión todavía ( soy nuevo en este tema). ¡Gracias por tomarte tu tiempo!

Answer 1

A partir de la multiplicación de matrices ( $H^2 = H$ ), se puede escribir $$h_{ii}=\sum_{j=1}^n h_{ji}^2$$ por cada $i$ en $1,\ldots, n$ .

A continuación, tenemos $$h_{ii}=h_{ii}^2 + \sum_{j=1, j\neq i}^n h_{ji}^2$$ y luego, $$h_{ii}-h_{ii}^2= \sum_{j=1, j\neq i}^n h_{ji}^2$$ Función $f(h_{ii}) = h_{ii}-h_{ii}^2$ tiene un máximo local en $h_{ii}=0.5$ y f(0,5) = 0,25. Por lo tanto, $$\sum_{j=1, j\neq i}^n h_{ji}^2=h_{ii}-h_{ii}^2\leq0.25.$$ Así que cada $h_{ji}\leq 0.25$ .