¿De cuántas maneras puede un $31$ La gestión de los miembros se seleccionará de entre $40$ hombres y $40$ mujeres para que haya una mayoría de mujeres?

Question

Esta es la pregunta:

En una organización hay $80$ personas, $40$ hombres y $40$ mujeres. ¿De cuántas maneras podemos elegir, entre las $80$ personas, un $31$ de los miembros de la dirección para que haya una mayoría de mujeres?

Mi respuesta fue elegir primero $16$ mujeres (para asegurar la mayoría) fuera del $40$ que significa $\binom{40}{16}$ , y luego elegir el resto $15$ del resto de las personas que significan $\binom{64}{15}$ . Así que la respuesta final es ${40 \choose 16} \cdot{64 \choose 15}$ pero esa no es la respuesta correcta así que realmente no sé.. ¿ayuda? Gracias.

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Nota $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ el coeficiente binomial.

Answer 1

¿Cuántos comités de 31 miembros se pueden hacer ignorando la mezcla de géneros?

Eso sería $\binom{80}{31}$

¿Qué fracción de ellos tendrá un mujer ¿mayoría? Piensa en la simetría, ya que en este caso tienes mucha.

Answer 2

La razón por la que tu solución dio una respuesta errónea es que a veces estás contando la misma comisión más de una vez, por ejemplo, si

• elija las mujeres #1..#16 y luego elija la mujer #17 + los hombres #1..14

que es lo mismo que

• elija las mujeres #1..#15,mujer#17 y luego elija la mujer #16 + los hombres #1..14

Una forma productiva de pensar en la cuestión es preguntar "¿cuántas formas hay de elegir un comité con igual número de hombres y mujeres?", y luego pensar en la otros comités: ¿Qué proporción de ellos tiene más hombres que mujeres? ¿Qué proporción tiene más mujeres que hombres?

Editar : no es una línea de pensamiento tan productiva. Consulta la respuesta de DJohnM para saber a dónde ir después.

Answer 3

El cálculo correcto utilizando su lógica debería ser el siguiente: Recuerda que estamos buscando el número de comités en los que hay mayoría de mujeres.

Bien, podría darse el caso de que hubiera 16 mujeres y 15 hombres, y esto debería ser $$\binom{40}{16}\binom{40}{15}.$$ Pero este no es el único caso; podría darse el caso de que hubiera 17 mujeres y 14 hombres: $$\binom{40}{17}\binom{40}{14}.$$ Obsérvese que, dado que la composición/relación de hombres y mujeres es diferente, no estamos contando los mismos comités.

Siguiendo esta lógica, sumamos todos los casos que es $$\sum_{k = 16}^{31}\binom{40}{k}\binom{40}{31-k}.$$

Pero este no es el método/respuesta ideal. Hay que enfocarlo como sugiere la otra respuesta/post.