Dada la variable aleatoria
$$Y = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$
donde $X_i$ son IID uniforme de las variables, ¿cómo puedo calcular el PDF de $Y$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Es posible que esta pregunta es la tarea, pero sentía que este clásico de la elemental pregunta de probabilidad todavía faltaba una respuesta completa después de varios meses, así que voy a dar aquí.
A partir de la declaración del problema, queremos que la distribución de
$$Y = \max \{ X_1, ..., X_n \}$$
donde $X_1, ..., X_n$ son iid ${\rm Uniform}(a,b)$. Sabemos que $Y < x$ si y sólo si cada elemento de la muestra es menor que $x$. Luego de esto, como se indica en @varty la sugerencia, combinado con el hecho de que el $X_i$'s son independientes, nos permite deducir
$$ P(Y \leq x) = P(X_1 \leq x, ..., X_n \leq x) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i \leq x) = F_{X}(x)^n$$
donde $F_{X}(x)$ es la CDF de la distribución uniforme. Por lo tanto, la CDF de $Y$ es $$F_{Y}(y) = P(Y \leq y) = \begin{cases} 0 & y \leq a \\ \phantom{} \left[ (y-a)/(b-a) \right]^n & y\in(a,b) \\ 1 & y \geq b \\ \end{casos}$$
Desde $Y$ tiene absolutamente continuas de distribución podemos derivar su densidad mediante la diferenciación de la CDF. Por lo tanto la densidad de $Y$ es
$$ p_{Y}(y) = \frac{n(y-a)^{n-1}}{(b-a)^{n}}$$
En el caso especial donde$a=0,b=1$,$p_{Y}(y)=ny^{n-1}$, que es la densidad de una distribución Beta con $\alpha=n$$\beta=1$, ya que el ${\rm Beta}(n,1) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n)\Gamma(1)}=\frac{n!}{(n-1)!} = n$.
Como una nota, la secuencia de usted, si usted fuera a ordenar su muestra, en orden creciente - $X_{(1)}, ..., X_{(n)}$ - se llama el orden de las estadísticas. Una generalización de esta respuesta es que todas las estadísticas de orden de una ${\rm Uniform}(0,1)$ distribuido de la muestra tiene una distribución Beta, como se señaló en @bnaul la respuesta.
timday
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517
La máxima de que una muestra es una de las estadísticas de orden, en particular la $n$th el fin de estadística de la muestra $X_1,\dots,X_n$. En general, el cálculo de la distribución de estadísticas de orden es difícil, tal y como describe el artículo de la Wikipedia; para algunas distribuciones especiales, el orden de las estadísticas son bien conocidos (por ejemplo, para la distribución uniforme, que tiene distribuye Beta de estadísticas de orden).
EDIT: el artículo de La Wikipedia sobre la muestra de máximo y mínimo también es útil y más específico para su problema.
alexei.vidmich
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mat_geek
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1367
El máximo de un conjunto de variables aleatorias IID cuando estén debidamente normalizado generalmente convergen a uno de los tres extremos de los tipos de valor. Este es Gnedenko del teorema de la equivalencia del teorema del límite central para casos extremos. El tipo particular depende del comportamiento de la cola de la distribución de la población. Sabiendo esto, usted puede usar la limitación de la distribución aproximada de la distribución para el máximo.
Desde la distribución uniforme en [a, b] es el objeto de esta pregunta Macro ha dado la distribución exacta para cualquier n y una muy buena respuesta. El resultado es bastante trivial. Para la distribución normal, una buena forma cerrada no es posible, pero adecuadamente normalizado el máximo para el normal converge a la distribución de Gumbel F(x)=exp(- e $^-$$^x$).
Para el uniforme de la normalización es (b-a)-x/n y F$^n$(b-a-x/n)=(1-x/[n(b-a)])$^n$
que converge a e$^-$$^x$$^/$$^($$^b$$^-$$^a$$^)$. Tenga en cuenta que y=b-a-x/n. y F$^n$(y) converge a 1, y se va a la b-a. Esto es válido para todas 0
En este caso es fácil comparar el valor exacto a su límite asintótico.
