Determinar la base de un espacio vectorial $V$ ?

Question

El problema:

Tengo 5 vectores $v_1, v_2,...,v_5$ cada uno de ellos con $5$ componentes:

$v_1 = \left[\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 3\\ 2 \\ 1 \\\end{matrix}\right]$ $v_2 = \left[\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\\end{matrix}\right]$ $v_3 = \left[\begin{matrix} 8 \\ 7 \\ 6 \\ 5 \\ 4 \\\end{matrix}\right]$ $v_4 = \left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 1\\ -1 \\ 2 \\\end{matrix}\right]$ $v_5 = \left[\begin{matrix} 10 \\ 8 \\ 6\\ 4 \\ 2 \\\end{matrix}\right]$

La pregunta es determinar una base $B = \{b_1, b_2, ...\}$ para el espacio vectorial $V = span(v_1, v_2, ... , v_5)$ .

Lo que sé:

Así es como yo entiendo el concepto de base : un conjunto con el mínimo número de vectores que combinados pueden representar a todos los demás vectores de un espacio vectorial.

El concepto de span también es familiar: todas las combinaciones lineales posibles de algunos vectores.

He visto que para encontrar la base, básicamente tengo que hacer la matriz creada poniendo al lado cada uno de los vectores en $RREF$ .

Podemos observar en el problema que el $v_1$ es el doble de $v_5$ y que todos los componentes de $v_2$ son menores exactamente una unidad respecto a los componentes de $v_4$ .

Preguntas:

1. Es $\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{matrix}\right]$ una base para el espacio vectorial $V$ ¿independientemente de los valores de los vectores?

2. Si utilizo el RREF Puedo encontrar un base ¿Y si quiero encontrar a otros?

Answer 1

Q1 . Las columnas de la matriz identidad forman efectivamente una base de $\mathbb{R}^{5}$ todo el $5$ -espacio dimensional. De hecho, es el estándar base. Sin embargo, nos interesa el subespacio $V = \text{span}(\lbrace v_{1}, \dots, v_{5}\rbrace)$ . Y como has mencionado, una base es un conjunto mínimo. $V$ es claramente un subespacio de $\mathbb{R}^{5}$ . Si el tramo de estos cinco vectores coincide con la totalidad de $\mathbb{R}^{5}$ entonces sí que funciona la base que propones. Esto sucede si el $5$ vectores son linealmente independientes. Si no lo son, entonces podemos describir su tramo utilizando menos vectores y las columnas de la matriz identidad ya no son una base porque no son un conjunto mínimo.

Q2 Existen infinitas bases para un subespacio de $\mathbb{R}^{n}$ .

RREF nos permite identificar un subconjunto (máximo) de los vectores que son linealmente independientes y, por tanto, pueden utilizarse para formar una base. Una propiedad (agradable) de este enfoque es que produce una base que consiste en vectores entre el conjunto original.

Otro procedimiento muy conocido para extraer una base es el Gram-Schmidt proceso. Partiendo de un vector de nuestro conjunto original, terminamos con un ortogonal (u ortonormal).

Una vez que hemos identificado una base $B = \lbrace b_{1}, \dots, b_{k} \rbrace$ para $V$ Podemos usar eso para producir muchas bases diferentes. Sea $\mathbf{B} = \left[ b_{1}, \dots, b_{k}\right]$ sea el $n \times k$ matriz formada por el apilamiento de los vectores base (aquí, $n=5$ ). Sea $\mathbf{C}$ sea una variable arbitraria $k \times k$ matriz. Entonces, cada columna de la $n \times k$ matriz $$\widehat{\mathbf{B}} = \mathbf{B}\mathbf{C}$$ es una combinación lineal de las columnas de $\mathbf{B}$ y por lo tanto se encuentra en $V$ . Si $\mathbf{C}$ es de rango completo ( es decir si sus columnas son linealmente independientes), entonces las columnas de $\widehat{\mathbf{B}}$ también serán linealmente independientes (Nótese que las columnas de $\mathbf{B}$ son por definición linealmente independientes). Por lo tanto, las columnas de $\widehat{\mathbf{B}}$ también forman una base de $V$ . Elección de diferentes rangos completos $k\times k$ matrices $\mathbf{C}$ rendirá nuevas bases para $V$ .

Una observación adicional: Curiosamente, si sabemos cuántos vectores entre $v_{1}, \dots, v_{5}$ son linealmente independientes (digamos $k$ Aquí $1\le k \le 5$ ), entonces también podríamos tomar un número igual de combinaciones lineales aleatorias de todos los vectores (digamos que con coeficientes seleccionados i.i.d. según la distribución normal). El $k$ Los vectores creados también serán linealmente independientes (y por lo tanto, formarán una base para $V$ ) con probabilidad $1$ .