Esto es válido para un anillo $R$ si $\operatorname{Spec} R$ es un espacio discreto finito (o equivalentemente, el cociente de $R$ por su nilradical es un producto finito de campos).
En primer lugar, supongamos que $\operatorname{Supp}(M)=V(\operatorname{Ann} M)$ por cada $R$ -Módulo $M$ . Primero demostraremos que todo ideal primo en $R$ es máxima. Supongamos que $\mathfrak{p}\subset R$ es primo, pero no maximal. Sea $S=R/\mathfrak{p}$ Entonces $S$ es un dominio pero no un campo. Sea $a\in S$ sea un elemento no nulo que no sea una unidad, y considere el $R$ -Módulo $M=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}} S/(a^n)$ . Sea $I=\bigcap_n (a^n)\subset S$ y que $J$ sea la imagen inversa de $I$ sur $R$ . Está claro que $I$ es el aniquilador de $M$ como $S$ -módulo, por lo que $J$ es el aniquilador de $M$ como $R$ -módulo.
Por otro lado, $I$ genera un ideal propio en la localización $S[a^{-1}]$ . De hecho, desde que $a$ no es un divisor de cero, la única manera $I$ podría no generar un ideal adecuado es si $a^n\in I$ para algunos $n$ lo que implicaría $a^n\in (a^{n+1})$ así que $a^n=a^{n+1}b$ para algunos $b\in S$ . De nuevo desde $a$ no es un divisor cero, esto implica que $1=ab$ así que $a$ es una unidad, contrariamente a nuestra elección de $a$ .
Así, $I$ genera un ideal propio en $S[a^{-1}]$ y podemos extenderlo a un ideal máximo. Este ideal maximal se remonta a un ideal primo $\mathfrak{q}\subset R$ tal que $J\subseteq\mathfrak{q}$ pero $\bar{a}\not\in\mathfrak{q}$ donde $\bar{a}\in R$ es un elemento cuya imagen en $S$ es $a$ . Dado que cada elemento de $M$ es aniquilado por algún poder de $\bar{a}$ , $M_\mathfrak{q}=0$ Así que $\mathfrak{q}\not\in \operatorname{Supp}(M)$ . Pero como $J\subseteq \mathfrak{q}$ , $\mathfrak{q}\in V(J) =V(\operatorname{Ann M})$ . Esto contradice nuestra suposición de que $\operatorname{Supp}(M)=V(\operatorname{Ann} M)$ para todos $R$ -módulos $M$ .
Por lo tanto, cada primo en $R$ es máxima. Ahora bien, si $\mathfrak{p}$ es cualquier ideal máximo, el módulo $R/\mathfrak{p}$ tiene soporte $\{\mathfrak{p}\}$ . Así, para cualquier subconjunto $A\subseteq\operatorname{Spec} R$ el módulo $M=\bigoplus_{\mathfrak{p}\in A}R/\mathfrak{p}$ tiene soporte $A$ . Desde $\operatorname{Supp}(M)=V(\operatorname{Ann M})$ y $V(I)$ es un conjunto cerrado para cualquier ideal $I$ esto implica que todo subconjunto de $\operatorname{Spec} R$ está cerrado, por lo que $\operatorname{Spec} R$ es discreto. Por último, dado que $\operatorname{Spec} R$ es cuasicompacto, esto implica que también es finito.
Por el contrario, supongamos que $R$ es un anillo tal que $\operatorname{Spec} R$ es un espacio discreto finito. Entonces $R$ puede identificarse con el producto finito $\prod_{\mathfrak{p}}R_\mathfrak{p}$ de sus localizaciones en todos sus ideales primos. Cuando hacemos esta identificación, cada ideal primo $\mathfrak{p}$ corresponde a los elementos de $\prod_{\mathfrak{p}}R_\mathfrak{p}$ cuyo $\mathfrak{p}$ -está en el único ideal maximal de $R_\mathfrak{p}$ . Además, cualquier $R$ -Módulo $M$ es naturalmente isomorfo a la suma directa $\bigoplus_{\mathfrak{p}}M_\mathfrak{p}$ de sus localizaciones en todos los ideales primos. El aniquilador de $M$ es entonces el producto $\prod_\mathfrak{p} \operatorname{Ann}_{R_\mathfrak{p}} M_\mathfrak{p}\subseteq\prod_{\mathfrak{p}}R_\mathfrak{p}$ . Así, $\operatorname{Ann} M\subseteq\mathfrak{p}$ si $\operatorname{Ann}_{R_\mathfrak{p}} M_\mathfrak{p}$ está contenido en el único ideal maximal de $R_\mathfrak{p}$ . Dado que cualquier ideal propio en $R_\mathfrak{p}$ está contenido en el único ideal maximal, esto significa que $\operatorname{Ann} M\subseteq\mathfrak{p}$ si $M_\mathfrak{p}\neq 0$ . Es decir, $\mathfrak{p}\in V(\operatorname{Ann} M)$ si $\mathfrak{p}\in \operatorname{Supp}(M)$ Así que $\operatorname{Supp}(M)=V(\operatorname{Ann} M)$ .
