Cálculo del valor esperado de un conjunto muestreado aleatoriamente

Question

Para un conjunto determinado $S$ avec $n$ elementos: $$S=\{x_1,x_2,...,x_n\}$$

Muestra aleatoria $n$ elementos del conjunto $S$ a otro conjunto $S'$ con sustitución (el mismo elemento puede aparecer muchas veces).

$$S' = \{x_1,x_1,x_2,x_2,...,x_{(n-1)},x_n\}$$

Ahora la pregunta es qué porcentaje de elementos del conjunto $S$ se producirá al menos una vez en el conjunto $S'$ ?

Lo que he probado:

Calculando el valor esperado de $n$ elementos del conjunto $S$ : $$E[I_1,I_2,...,I_n] = E[I_1] + ... +E[I_n]$$

ahora tenemos que demostrar que la expresión anterior es igual a $n*$$ P$ ( $x_1$ se elige) porque todas las Ps son iguales?

Para computar la P(al menos una vez) lo hacemos: $1-P$ (el elemento nunca se elige) $= 1 - (\frac{n-1}{n})^n$ .

Así que para un determinado $n=10$ lo tenemos: $1-(\frac{10-1}{10})^{10} = 0.65$

¿Es esta la forma correcta de resolver este problema? He llegado a esta conclusión recopilando soluciones de problemas similares, pero no estoy totalmente seguro.

Answer 1

Lo que has hecho me parece bien. Otra forma de encontrar el número esperado de elementos únicos en $S'$ (que es lo que se plantea en tu pregunta) es al darse cuenta de que este valor es igual a la suma de la probabilidad de que cada elemento esté incluido (por linealidad de la expectativa): $$\sum_{i=1}^n \mathbb{P} (x_i \in S')$$

Esto es igual a $$n \mathbb{P}(x_1 \in S')$$

Como se busca la proporción, no el valor real esperado, la respuesta es $$\mathbb{P}(x_1 \in S')$$

Todo lo que sigue es lo mismo que incluyó en su respuesta, lo que resulta en una proporción final esperada de elementos únicos de $$1-\left(1 - \frac{1}{n} \right)^n$$