¿Por qué debería importarme la teoría de Heegaard-Floer?

Question

Me gustaría recopilar una lista de aplicaciones de la teoría de Heegaard-Floer. Por aplicaciones, no me refiero a cosas como "puede detectar el nudo" o "puede detectar el género del nudo". Los algoritmos para este tipo de cosas se conocen desde los años 60 y 70. En cambio, me refiero a dos tipos de cosas.

1. Preguntas que no hacen referencia a la teoría de Heegaard-Floer y que pueden responderse utilizando la teoría de Heegaard-Floer (y, preferiblemente, no pueden responderse de otra manera).
2. Cosas sobre los nudos o los 3manifolds que se pueden calcular con la teoría de Heegaard-Floer para las que no existían algoritmos anteriormente.

Hago esta pregunta aquí en respuesta a un gran número de charlas sobre la teoría de Heegaard-Floer a las que he asistido a lo largo de los años. Parece que es un tema candente y que muchos jóvenes con talento están trabajando en él, pero la mayoría de las charlas a las que he asistido sobre este tema abordan lo que me parece que son cuestiones técnicas internas al tema. Y cuando he planteado esta cuestión a los ponentes, nunca he conseguido una buena respuesta. Pero como es un tema tan candente, asumo que debe haber algunas aplicaciones mortales.

Answer 1

Tomado de la introducción de Un recorrido por la teoría de los flotadores con bordes (por Lipshitz, Ozsvath, D. Thurston):
http://arxiv.org/pdf/1107.5621v1.pdf

La homología de Heegaard Floer, introducida en una serie de trabajos de Zoltán Szabó y del segundo autor, se ha convertido en una herramienta útil en la topología de 3 y 4 dimensiones. Los invariantes de Heegaard Floer contienen información topológica sutil información topológica sutil, que permite detectar los géneros de nudos y clases de homología; detectar la fiberancia de los nudos y de los 3-manifolds; acotar el género de las rebanadas y el número de desanudación; demostrar la estanqueidad y la fillabilidad de Stein de las estructuras de contacto; y mucho más. Ha sido útil para resolver una serie de conjeturas, particularmente relacionadas con cuestiones sobre la cirugía de Dehn. Se sabe o se conjetura que es equivalente a varios otros invariantes de curvas gauge-teóricas u holomórficas en topología de baja dimensión, incluyendo la homología de Floer monopolar, la homología de contacto incrustada, y los invariantes de coincidencia lagrangiana de los 3 y 4 manifolds. Se sabe que la homología de Floer de Heegaard se relaciona con la homología de Khovanov, y se conjeturan más relaciones con homologías del tipo Khovanov-Rozansky.

(las referencias se incluyen en el documento para cada una de las afirmaciones anteriores)

Answer 2

Kronheimer, Mrowka, Ozsváth y Szabó obtuvieron una nueva demostración del Teorema del Complemento del Nudo de Gordon y Luecke utilizando la homología de Floer monopolar. Creo que eso está muy bien. También demostraron que $\mathbb{RP}^3$ no se puede obtener por cirugía en un nudo no trivial (no sé si hay alguna otra prueba ahora).

Kronheimer, Mrowka, Ozsváth, Szabó, Monopolos y cirugías del espacio de la lente. Ann. of Math. (2) 165 (2007), nº 2, 457-546.