¿Por qué debería importarme la teoría de Heegaard-Floer?

Question

Me gustaría recopilar una lista de aplicaciones de la teoría de Heegaard-Floer. Por aplicaciones, no me refiero a cosas como "puede detectar el nudo" o "puede detectar el género del nudo". Los algoritmos para este tipo de cosas se conocen desde los años 60 y 70. En cambio, me refiero a dos tipos de cosas.

1. Preguntas que no hacen referencia a la teoría de Heegaard-Floer y que pueden responderse utilizando la teoría de Heegaard-Floer (y, preferiblemente, no pueden responderse de otra manera).
2. Cosas sobre los nudos o los 3manifolds que se pueden calcular con la teoría de Heegaard-Floer para las que no existían algoritmos anteriormente.

Hago esta pregunta aquí en respuesta a un gran número de charlas sobre la teoría de Heegaard-Floer a las que he asistido a lo largo de los años. Parece que es un tema candente y que muchos jóvenes con talento están trabajando en él, pero la mayoría de las charlas a las que he asistido sobre este tema abordan lo que me parece que son cuestiones técnicas internas al tema. Y cuando he planteado esta cuestión a los ponentes, nunca he conseguido una buena respuesta. Pero como es un tema tan candente, asumo que debe haber algunas aplicaciones mortales.

Answer 1

Ghiggini ha demostrado que el único nudo que da lugar a la esfera de homología de Poincare por relleno de Dehn es el nudo trébol, como aplicación de la homología de Heegaard Floer.

Otro punto importante es que ahora se sabe que ciertos tipos de homología de Heegaard Floer son computables, empezando por Sarkar-Wang . Dado que se sabe que es equivalente a otras homologías de Floer (Seiberg-Witten, homología de contacto incrustada), esto permite calcular estos otros invariantes. La esperanza es poder obtener fórmulas combinatorias para los invariantes de los 4 manifolds a partir de esto, que están relacionados con los invariantes de Seiberg-Witten. Por desgracia, a veces las fórmulas combinatorias son más complejas y menos motivadas que las definiciones geométricas, o tienen la geometría suprimida.

Como has señalado, muchas charlas sobre la homología de Floer de Heegaard se vuelven bastante técnicas, especialmente la teoría de Floer con fronteras. Creo que la gente piensa que la complejidad añadida merece la pena, ya que debería aportar nuevos conocimientos (y ya lo está haciendo). Pero esto también significa que la motivación de algunos resultados técnicos puede no ser evidente en la actualidad.

Answer 2

El $d$ invariante procedente de la gradación racional puede verse como una mejora de la forma de enlace de torsión en una homología racional $3$ -Esfera. Al igual que la forma de enlace de torsión regular de los 3-manifolds, esto da una obstrucción a la incrustación de la homología racional $3$ -esferas en el $4$ -(o cualquier homología $4$ -esfera). Del mismo modo, esto da lugar a la obstrucción de $spin^c$ -cobordismo. A veces estos obstáculos son completamente nuevos, por lo que se trata de una aplicación realmente novedosa en la que no existían herramientas comparables con anterioridad.

Answer 3

Proporciona muchos invariantes computables en la geometría de contacto, en particular el invariante del contacto definido por Ozsvåth y Szabó a través de libros abiertos y la correspondencia de Giroux. Por ejemplo, en los espacios fibrosos de Seifert la cuestión de si existen estructuras de contacto estrechas fue completamente resuelto por Lisca y Stipsicz, y la clasificación se completó en muchos de estos casos en varios otros trabajos; y Ghiggini la utilizó para exhibir estructuras de contacto que son fuertemente rellenable pero no rellenable por Stein .

Del mismo modo, el Invariante de la pérdida (que lleva el nombre de Lisca-Ozsváth-Stipsicz-Szabó) y el relacionado, fácilmente computable Ozsváth-Szabó-Thurston invariantes del diagrama de rejilla de los nudos legendarios y transversales fueron utilizados por Ng-Ozsváth-Thurston para distinguir muchos pares de nudos en el contacto estándar $S^3$ y se ha utilizado para demostrar otras propiedades como el hecho debido a Etnyre y Vela-Vick de que el complemento de la unión de cualquier libro abierto de cualquier estructura de contacto tiene sin torsión Giroux . (Según el reciente trabajo de Baldwin--Vela-Vick--Vértesi, estas invariantes son las mismas para los nudos en la norma $S^3$ .)

Answer 4

Yi Ni utilizó la Homología de Floer de Heegaard para demostrar, entre otras muchas cosas, que un nudo que admite una cirugía de espacio-lente es fibrado. Creo que no se conoce ninguna prueba "convencional" de esto.

Ni, Yi, Knot Floer homology detecta nudos fibrosos. Invent. Math. 170 (2007), no. 3, 577-608.

Answer 5

No creo que se pueda decir que la detección del nudo y la detección del género del nudo se han entendido desde hace mucho tiempo sólo porque había algoritmos para ellos. Lo que quieres son algoritmos efectivos, o formas de computar infinitas familias de ejemplos.

Aparte de eso, Ozsvath y Szabo tuvieron aplicaciones tempranas a preguntas sobre qué tres variedades pueden obtenerse a partir de qué otras variedades mediante qué tipos de cirugías. El invariante de contacto de Ozsvath-Szabo tiene una serie de aplicaciones, por ejemplo para entender los rellenos simplécticos. Hay mucho más, demasiado para que yo pueda seguirlo completamente, de modo que cualquier cosa que diga sería muy incompleta.

Además, la mayoría de las aplicaciones de la teoría de Seiberg-Witten (por ejemplo, la conjetura de Thom, que distingue varias variedades lisas no diferenciadas pero sí homeomorfas) pueden refutarse utilizando la teoría de Ozsvath-Szabo. Como se sabe que las dos teorías son equivalentes, es cuestión de gustos si se quieren considerar aplicaciones de Seiberg-Witten o de Ozsvath-Szabo.