Prueba de que si añadimos un vector a un conjunto de vectores linealmente dependientes en un espacio vectorial $V$ entonces el nuevo conjunto de vectores sigue siendo linealmente dependiente

Question

Demostrar que si $S=\{v_1, v_2, v_3\}$ es un conjunto de vectores linealmente dependientes en un espacio vectorial $V$ y $v_4$ es cualquier vector en $V$ que no está en $S$ entonces $\{v_1, v_2, v_3, v_4\}$ también depende linealmente.

Si los vectores en $S$ son linealmente dependientes, cada vector en $S$ pueden escribirse como combinaciones lineales de los otros vectores. Si se añade un vector $v_4$ y multiplicar este vector por un escalar $k=0$ entonces los vectores $\{v_1,v_2,v_3\}$ pueden seguir escribiéndose como combinaciones lineales entre sí.

¿Es esto una prueba?

Answer 1

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y sólo si existe una combinación lineal no trivial de los vectores del conjunto que sea cero. No trivial significa aquí que hay al menos un coeficiente no nulo en la combinación lineal.

Debería ser inmediatamente obvio entonces que se puede añadir CUALQUIER conjunto de vectores, finito o infinito, incluso incontable, a un conjunto linealmente dependiente y el resultado sigue siendo un conjunto linealmente dependiente. Eso es porque una vez que se tiene una combinación lineal no trivial que suma a cero, se puede añadir cualquier vector adicional a esa suma con todos los coeficientes adicionales idénticos a cero; esto significa que (1) la suma sigue siendo cero, y (2) la combinación lineal sigue siendo no trivial.

Answer 2

La dependencia lineal no dice que todos los vectores del conjunto puedan escribirse como una combinación lineal no trivial de los demás vectores del conjunto. Consideremos $\{ (1, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0) \}$ . Obsérvese que los dos primeros vectores son linealmente dependientes, lo que implica que el conjunto es linealmente dependiente. Sin embargo, $(0, 1, 0)$ es independiente de los otros dos vectores.

Así que si $S$ es linealmente dependiente, dejemos que $v_{1} \in S$ sea un vector dependiente tal que $v_{1} = \sum_{i=2}^{n} a_{i} v_{i}$ . Así que si añadimos $v_{n+1}$ a $S$ podemos seguir escribiendo $v_{1} = \sum_{i=2}^{n} a_{i} v_{i} + 0v_{n+1}$ . Por lo tanto, $S \cup \{v_{n+1}\}$ sigue siendo linealmente dependiente. Así que tu idea es correcta, pero deberías afinar un poco la redacción para hacerla más exacta.