Límite superior de la recurrencia $f(n+1)=f(n)\left( 1-\frac{f(n)}{1-f(n)} \right)$

Question

Necesito acotar la siguiente recurrencia

$$f(n+1)=f(n)\times\left( 1-\frac{f(n)}{1-f(n)} \right), f(1)<\frac{1}{4} $$

Pregunta Me gustaría una función estrictamente decreciente $g(n)$ tal que $f(n) < g(n)$ .

Sé que $0<f(n)<\frac{1}{4}$ es estrictamente decreciente, y que existe un límite. Hasta ahora, puedo demostrar que $f(n\log(n))\leq \frac{1}{n}$ pero se ha obtenido con métodos sencillos, y el trazado de la función muestra que probablemente exista un límite mejor.

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Motivación Tengo un algoritmo que encuentra un gráfico que coincide con la "calidad" $f(n)$ después de $n$ iteraciones, donde más pequeño es mejor, y deseo saber cuántas fases son necesarias para lograr una calidad determinada.

Answer 1

Escribir $x_{n}=1/f(n)$ con $L>x_1>4$ , da $$x_{n+1}=1+x_n+\frac{2}{x_n-2}.$$ Se puede establecer por inducción para $n\geq 2$ que $$3+n+\frac{2}{L+6-8}+\cdots+\frac{2}{L+3n-8} <x_n < L-3+n+2 \left (\frac{1}{1}+\cdots+\frac{1}{n} \right ).$$

Se deduce que existen constantes $c_1,c_2$ tal que $n+(2/3) \log n +c_1 < x_n < n+2 \log n +c_2$ para $n$ lo suficientemente grande. Esto da $$f(n) < \frac{1}{n+(2/3)\log n +c_1}.$$