Determinar si un $m \times n$ la matriz es uno a uno

Question

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1&0&-1 \end{bmatrix} $$

Dada esta matriz, debo determinar si la multiplicación por $A$ es una transformación matricial de uno a uno. Sé que si esto fuera una $n \times n$ podría descubrir si es uno-a-uno comprobando su determinante pero no entiendo cómo hacerlo para un $m \times n$ .

Leí que era algo sobre si la matriz tenía la propiedad $m \ge n$ pero no veo cómo se aplica esto. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $$ T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1&0&-1 \end{bmatrix} $$ Demuestre que en la ecuación $$T \bf{x} = 0 \iff \bf{x}=0$$

es decir, la solución trivial es la única que resuelve esto.

Answer 2

La condición es que todos los $3\times3$ los subdeterminantes no son todos $0$ . Si conoces los poderes exteriores, esto significa que el poder exterior $\stackrel{3}{\bigwedge}A\ne 0$ .

En general, si $A$ es un $m\times n$ matriz, que representa un mapa lineal $\varphi\colon\mathbf R^n\longrightarrow\mathbf R^m$ la condición es que el $n$ -a potencia exterior de este mapa: $$\stackrel{n}{\bigwedge}\varphi\colon\stackrel{n}{\bigwedge}\mathbf R^n\simeq\mathbf R\longrightarrow\stackrel{n}{\bigwedge}\mathbf R^m\simeq\mathbf R^{\binom mn}$$ es inyectiva, es decir, no nula.

En términos de matrices, esto significa que los menores de orden $n$ no son todos $0$ .

Nota : Esto es válido para espacios vectoriales sobre cualquier campo.

También hay una extensión para finitely generated free modules sobre un anillo conmutativo: la condición es que el ideal generado por los menores de orden $n$ es fiel es decir, su aniquilador es $0$ .

Answer 3

Recordemos que para un mapa lineal $T:V\to W$ El _teorema de la nulidad_ afirma que $$ \dim\DeclareMathOperator{image}{image}\image(T)+\dim\ker(T)=\dim(V) $$ Recuerde también que $T$ es uno a uno si y sólo si $\dim\ker(T)=0$ .

Ahora, dejemos que $A$ ser un $m\times n$ y supongamos que nuestra $T$ es el mapa lineal $T:\Bbb R^n\to \Bbb R^m$ dado por $T(x)=Ax$ . Entonces $\dim\image(T)=\DeclareMathOperator{rank}{rank}\rank(A)$ por lo que el teorema de nulidad de rango toma la forma $$ \rank(A)+\dim\ker(T)=\dim(\Bbb R^n) $$ que puede reordenarse como $$ \dim\ker(T)=n-\rank(A) $$ Esto da una respuesta satisfactoria a su pregunta:

Dejemos que $A$ ser un $m\times n$ matriz. Entonces el mapa lineal $T:\Bbb R^n\to \Bbb R^m$ dado por $T(x)=Ax$ es uno a uno si y sólo si $\rank(A)=n$ .

Equivalentemente:

Dejemos que $A$ sea una matriz. Entonces el mapa lineal dado por $T(x)=Ax$ es uno a uno si y sólo si $\rank(A)=\#\DeclareMathOperator{columns}{columns}\columns(A)$ .

Probemos esto con su ejemplo. Dejemos que $$ A= \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right] $$ La reducción de filas da $$ \DeclareMathOperator{rref}{rref}\rref(A)= \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$ Por lo tanto, $\rank(A)=2<3=\#\columns(A)$ . Esto demuestra que el mapa lineal $T:\Bbb R^3\to\Bbb R^4$ dado por $T(x)=Ax$ es no uno a uno.

Obsérvese que en el caso especial de que $A$ es cuadrado nuestro resultado puede ser replanteado en términos de determinantes, utilizando el hecho de que $\rank(A)=\#\columns(A)$ si y sólo si $\det(A)\neq0$ .

Answer 4

Tu matriz (nombrémosla) $A$ representa un mapa lineal $\phi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ . Para $\phi$ para ser uno a uno en particular tiene que ser onto. Pero como tenemos $m \geq n$ y la imagen de un espacio vectorial de n dimensiones es a su vez un espacio vectorial de dimensión $\leq n$ el mapa no puede ser sobre.

Aquí estoy suponiendo que estás trabajando con espacios vectoriales reales (pero no hay ninguna diferencia en este sentido utilizando otros fieles).