polinomio, serie de potencias, radio de convergencia

Question

Dejemos que $p(x)$ sea un polinomio de grado $N$ entonces el radio de convergencia de la serie de potencias $$\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n$$

1. depende de $N$

2. es $1$ para todos $N$

3. es $0$ para todos $N$

4. es $\infty$ para todos $N$

Radio de convergencia $r=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{p(n)}{p(n+1)}\rightarrow1$ ?

Answer 1

Tienes esto. Para cualquier polinomio no nulo $p$ , usted tiene $$\lim_{n\to\infty} \root{n}\of{|P(n)|} = 1.$$ Ahora invoque la prueba de la raíz.

Answer 2

Usted (probablemente) sabe que si $p$ et $q$ son polinomios con el mismo grado y coeficientes principales $p_0$ et $q_{\,0}$ entonces

$$\lim_{x\to \infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p_0}{q_{\,0}}$$

Su línea de pensamiento es buena. Ya que $p(n)$ et $p(n+1)$ tienen el mismo grado y el mismo coeficiente principal, digamos $p_0$ entonces

$$\lim_{n\to \infty}\frac{p(n)}{p(n+1)}=\frac{p_0}{p_0}=1$$