¿Intuición detrás de la regla de poder?

Question

Llevo un tiempo usándolo pero todavía no entiendo muy bien por qué funciona.

Para exponentes enteros mayores o iguales a 2, es fácil entenderlo intuitivamente utilizando la interpretación geométrica de la regla del producto: http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/products.html

Pero podría alguien darme una intuición de por qué funciona ( no es una prueba )? ¿Una intuición que se extiende a las potencias no enteras y negativas?

Answer 1

¿Entiendes realmente cómo o por qué $x'=1$ ? Si es así, entonces, a través de un esfuerzo de imaginación, trate de imaginar esto x que consideras monodimensional, como si fuera en realidad una entidad multidimensional en sí misma, y lo escribes como un producto de n cantidades iguales, a saber $x=y^n\iff y=\sqrt[n]x$ . Ahora, aplique la regla del producto entero-dimensional, que realmente parece comprender, a x pero esta vez viéndolo como un compuesto n -y el objeto de la dimensión, y y como la nueva unidad. ¿Qué obtendríamos? $$x'=(y^n)'=n\cdot y^{n-1}\cdot y'\iff y'=\dfrac{x'}{n\cdot y^{n-1}}\iff\Big(\sqrt[n]x\Big)'=\dfrac1{n\cdot\Big(\sqrt[n]x\Big)^{n-1}}$$ Por ejemplo, podríamos representar varios volúmenes tridimensionales utilizando segmentos de línea monodimensionales, por ejemplo, $1$ cm $\equiv$ $1$ m $^3$ o $1$ pulgadas $\equiv$ $1$ galón, etc. Por lo tanto, el hecho de que utilicemos una representación monodimensional para algo, no significa que ese determinado algo no esté compuesto.

Answer 2

Yo no llamaría a lo de la regla del producto una intuición, es más bien una prueba.

Si quieres una explicación intuitiva para el caso de los enteros, puedes por ejemplo considerar $r^n$ como el volumen de un $n$ -bola de radio $r$ (hasta una constante). Al cambiar el radio, el volumen cambia y la derivada de $r^n$ te dice lo rápido que cambia. Ahora debería ser obvio que cuanto mayor sea la superficie de la esfera, más rápido crecerá el volumen, y la superficie es $r^{n-1}$ (de nuevo, hasta un factor constante)