$\{f_n\} \in \mathcal{R}[a,b]$ converge puntualmente a $f\in \mathcal{R}[a,b]$ . Prueba $\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n \, dx = \int_a^b f \, dx$ .

Question

Pregunta:

Supongamos que $f_n$ es una secuencia uniformemente acotada de funciones, en $\mathcal{R}[a,b]$ que converge puntualmente a una función $f\in \mathcal{R}[a,b]$ . Prueba $\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n \, dx = \int_a^b f \, dx$ .

La respuesta, creo, debería ser muy similar a la teorema de convergencia dominada o su corolario inmediato, el teorema de convergencia limitada . ¿Existe una forma más sencilla de demostrar lo anterior, que no utilice estos resultados de la teoría de la medida?

Answer 1

Esto se conoce como el teorema de convergencia limitada de Arzela. Aquí hay algunas referencias con la historia y las pruebas.

1. W. A. J. Luxemburg Arzela's Dominated Convergence Theorem for the Integral de Riemann, The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 9 (Nov., 1971), pp. 970-979 http://www.jstor.org/stable/2317801
2. Nadish de Silva, UNA PRUEBA CONCISA Y ELEMENTAL DE LA RESOLUCIÓN DE ARZELÀ TEOREMA DE CONVERGENCIA http://arxiv.org/pdf/1408.1439.pdf