Expectativa del sumo de una función indicadora

Question

Dejemos que $X$ sea una función medible en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal A,P)$ valorado en un espacio métrico $(F,d)$ y que $1_A (\cdot)$ denotan la función indicadora sobre un conjunto $A$ . Denote por $B(x,h)$ la bola cerrada centrada en $x$ con radio $h$ con respecto a la métrica $d$ .

Para un conjunto compacto $S\subseteq F$ Sé que $E(\sup_{x\in S }1_{B(x,h)}(X))\geq \sup_{x\in S }E(1_{B(x,h)}(X))$ . Sin embargo, tengo la intuición de que ambos son iguales.

Pregunta: Hace $E(\sup_{x\in S }1_{B(x,h)}(X))= \sup_{x\in S }E(1_{B(x,h)}(X))$ ¿se mantiene?

Answer 1

Considere $X : ([0, 1], \mathcal{B}, m) \rightarrow [0, 1]$ tal que $X(\omega) = \omega$ . Sea $S = [0, 1]$ y $h = \frac{1}{4}$ . Entonces $\sup_{x \in S} 1_{B(x, h)}(X) = 1$ pero $E(1_{B(x, h)}(X)) = m(X \in B(x, h)) \leq \frac{1}{2}$ para todos $x \in [0, 1]$ .