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Dejemos que X={1,2,3} . Encuentra toda la topología de X que son T0 o T1 o T3

Dejemos que X={1,2,3} . Encuentra toda la topología de X que son T0 o T1 o T3

Esto es lo que obtuve

T1 es una topología discreta

T0 son todas topologías de un punto, incluyendo

{1},{2},{3},{{1},{1,2}},{{1},{1,3}},{{1},{2,3}},{{2},{1,2}},{{2},{1,3}},{{2},{2,3}},{{3},{1,2}},{{3},{1,3}},{3},{2,3}},{{1},{1,2},{1,3}},{{2},{1,2},{2,3}},{{3},{1,3},{2,3}}

T3 No estoy tan seguro.

También tengo una pregunta. Sé que si X es T1 entonces X es T0 pero ¿es cierto que si X es T2 entonces X es T1 ?

0voto

Arno Puntos 796

En general, Ti implica Tj para j<i . (Aunque hay que tener cierto cuidado, porque algunas personas no necesariamente entenderían un Ti espacio para i>0 para ser T0 También)

Por lo tanto, hay dos ajustes aquí: T0 espacios con 3 elementos, y T1 espacios con 3 elementos. Cualquier espacio finito T1 El espacio es ya discreto, ya que los conjuntos abiertos son cerrados bajo intersecciones finitas. Por lo tanto, sólo hay un T1 topología en {1,2,3} .

Para T0 podemos intentar construir un mínimo T0 topología hasta la permutación de los elementos. Está bien si un elemento tiene sólo X como vecindad, wlog que ese sea el 3. Tanto 1 como 2 necesitan vecindades más pequeñas, en particular esto implica que {1,2} está abierto. Por otra parte, para un punto éste puede ser el menor vecindario, wlog sea 2. Entonces, {1} también está abierto.

Por lo tanto, el T0 Las topologías son aquellas que (después de alguna permutación) incluyen los conjuntos abiertos {1} y {1,2} .

-4voto

nav Puntos 1

\begin{align*} \\T1=\{\{1\},¤, X\} \\T2=\{\{2\},¤,X\} \\T3=\{\{3\},¤, X\} \\T4=\{\{1,2\},¤, X\} \\T5=\{\{2,3\},¤, X\} \\T6=\{\{1,3\},¤, X\} \\T7=\{\{1\}, \{1,2\},¤, X\} \\T8=\{\{2\}, \{1,2\},¤, X\} \\T8=\{\{1\},\{1,3\},¤, X\} \\T10=\{\{3\},\{1,3\},¤, X\} \\T11=\{\{2\}, \{2,3\},¤, X\} \\T12=\{\{3\}, \{2,3\},¤, X\} \\T13=\{\{1\}, \{2,3\},¤, X\} \\T14=\{\{2\}, \{1,3\},¤, X\} \\T15=\{\{3\},\{1,2\},¤,X\} \\T16=\{\{1\}, \{2\}, \{1,2\},¤, X\} \\T17=\{\{2\}, \{3\}, \{2,3\},¤, X\} \\T18=\{\{1\},\{3\}, \{1,3\},¤, X\} \\T19=\{\{1,2\}, \{1,3\}, \{1\},¤, X\} \\T20=\{\{1,2\}, \{2,3\},\{2\},¤, X\} \\T21=\{\{1,3\}, \{2,3\}, \{3\},¤, X\} \\T22=\{\{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{2,3\},¤, X\} \\T23=\{\{1\}, \{3\}, \{1,3\}, \{3,2\},¤, X\} \\T24=\{\{2\}, \{3\}, \{2,3\}, \{3,1\},¤, X\} \\T25=\{\{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{1,2,3\},¤, X\} \\T26=\{\{2\}, \{3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\},¤, X\} \\T27=\{\{1\}, \{3\}, \{1,3\}, \{1,2,3\},¤, X\} \\T28=\{¤, X\} \\T29=\{\{1,2,3\},¤, X\} \end{align*}

Así que hay 29 topologías de X={1,2,3}

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