Dejemos que $X=\{1,2,3\}$ . Encuentra toda la topología de $X$ que son $T_0$ o $T_1$ o $T_3$

Question

Dejemos que $X=\{1,2,3\}$ . Encuentra toda la topología de $X$ que son $T_0$ o $T_1$ o $T_3$

Esto es lo que obtuve

$T_1$ es una topología discreta

$T_0$ son todas topologías de un punto, incluyendo

$\{1\},\{2\},\{3\}, \{\{1\},\{1,2\}\},\{\{1\},\{1,3\}\},\{\{1\},\{2,3\}\},\{\{2\},\{1,2\}\},\{\{2\},\{1,3\}\},\{\{2\},\{2,3\}\},\{\{3\},\{1,2\}\},\{\{3\},\{1,3\}\},\{{3\},\{2,3\}\}, \{\{1\},\{1,2\},\{1,3\}\},\{\{2\},\{1,2\},\{2,3\}\},\{\{3\},\{1,3\},\{2,3}\}\}$

$T_3$ No estoy tan seguro.

También tengo una pregunta. Sé que si $X$ es $T_1$ entonces $X$ es $T_0$ pero ¿es cierto que si $X$ es $T_2$ entonces $X$ es $T_1$ ?

Answer 1

En general, $T_i$ implica $T_j$ para $j < i$ . (Aunque hay que tener cierto cuidado, porque algunas personas no necesariamente entenderían un $T_i$ espacio para $i > 0$ para ser $T_0$ También)

Por lo tanto, hay dos ajustes aquí: $T_0$ espacios con 3 elementos, y $T_1$ espacios con 3 elementos. Cualquier espacio finito $T_1$ El espacio es ya discreto, ya que los conjuntos abiertos son cerrados bajo intersecciones finitas. Por lo tanto, sólo hay un $T_1$ topología en $\{1,2,3\}$ .

Para $T_0$ podemos intentar construir un mínimo $T_0$ topología hasta la permutación de los elementos. Está bien si un elemento tiene sólo $X$ como vecindad, wlog que ese sea el 3. Tanto 1 como 2 necesitan vecindades más pequeñas, en particular esto implica que $\{1, 2\}$ está abierto. Por otra parte, para un punto éste puede ser el menor vecindario, wlog sea 2. Entonces, $\{1\}$ también está abierto.

Por lo tanto, el $T_0$ Las topologías son aquellas que (después de alguna permutación) incluyen los conjuntos abiertos $\{1\}$ y $\{1,2\}$ .

Answer 2

$$\begin{align*} \\T1=\{\{1\},¤, X\} \\T2=\{\{2\},¤,X\} \\T3=\{\{3\},¤, X\} \\T4=\{\{1,2\},¤, X\} \\T5=\{\{2,3\},¤, X\} \\T6=\{\{1,3\},¤, X\} \\T7=\{\{1\}, \{1,2\},¤, X\} \\T8=\{\{2\}, \{1,2\},¤, X\} \\T8=\{\{1\},\{1,3\},¤, X\} \\T10=\{\{3\},\{1,3\},¤, X\} \\T11=\{\{2\}, \{2,3\},¤, X\} \\T12=\{\{3\}, \{2,3\},¤, X\} \\T13=\{\{1\}, \{2,3\},¤, X\} \\T14=\{\{2\}, \{1,3\},¤, X\} \\T15=\{\{3\},\{1,2\},¤,X\} \\T16=\{\{1\}, \{2\}, \{1,2\},¤, X\} \\T17=\{\{2\}, \{3\}, \{2,3\},¤, X\} \\T18=\{\{1\},\{3\}, \{1,3\},¤, X\} \\T19=\{\{1,2\}, \{1,3\}, \{1\},¤, X\} \\T20=\{\{1,2\}, \{2,3\},\{2\},¤, X\} \\T21=\{\{1,3\}, \{2,3\}, \{3\},¤, X\} \\T22=\{\{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{2,3\},¤, X\} \\T23=\{\{1\}, \{3\}, \{1,3\}, \{3,2\},¤, X\} \\T24=\{\{2\}, \{3\}, \{2,3\}, \{3,1\},¤, X\} \\T25=\{\{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{1,2,3\},¤, X\} \\T26=\{\{2\}, \{3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\},¤, X\} \\T27=\{\{1\}, \{3\}, \{1,3\}, \{1,2,3\},¤, X\} \\T28=\{¤, X\} \\T29=\{\{1,2,3\},¤, X\} \end{align*}$$

Así que hay 29 topologías de X={1,2,3}