Densidad para productos de progresiones aritméticas

Question

Considere $k\geq 2$ progresiones aritméticas biinfinitas $\mathcal A_i=a_i+b_i\mathbb Z$ (para $i=1,\ldots,k$ ) en $\mathbb Z$ . (Suponemos que $a_i$ y $b_i\geq 2$ son números enteros estrictamente positivos. Se puede suponer $a_i$ y $b_i$ coprima y $a_i$ puede reducirse en módulo $b_i$ sin pérdida de generalidad).

El conjunto $\mathcal P=\prod_{i=1}^k \mathcal A_i$ de todos los productos posibles tiene densidades superior e inferior estrictamente positivas $\overline{\delta}$ y $\underline{\delta}$ sur $\mathbb Z$ .

¿Es posible que $\overline{\delta}>\underline{\delta}$ ? ¿Pueden ser irracionales? ¿Son fáciles de calcular? Fijación de $\epsilon>0$ y $k\geq 2$ sólo hay un número finito de productos de este tipo $\mathcal P$ con una densidad superior de al menos $\epsilon$ ?

Ejemplos: $(1+2\mathbb Z)(1+3\mathbb Z)=\mathbb Z\setminus\{0\}$ (y ambas densidades son $1$ ).

$(1+2\mathbb Z)(1+4\mathbb Z)=1+2\mathbb Z$ (y ambas densidades son iguales a $1/2$ ).

$(1+3\mathbb Z)(1+5\mathbb Z)$ parece tener densidades superiores a $.75$ .

Answer 1

Creo que Yaakov Baruch tiene razón en general.

Dejemos que $D$ sea el l.c.m. de todos los $b_i$ y que $S$ sea el conjunto de todas las clases de residuos en $\mathbb Z/D\mathbb Z$ se reunió con $\mathcal P$ . Afirmo que la densidad es $|S|/D$ .

El límite superior es trivial. En lo que sigue, asumo que $(a_i,b_i)=1$ , de lo contrario se pasa a una sublattice (1-dim).

Considere cualquier clase de residuo $x+D\mathbb Z\in S$ ; es un producto de algunas clases $c_i+D\mathbb Z\subseteq a_i+b_i\mathbb Z$ . Por lo que tengo entendido, la mayoría de los enteros (en particular, la mayoría de los de $x+D\mathbb Z$ ) tienen (diferentes) divisores primos $p_i\equiv a_i\pmod {b_i}$ . Cada uno de estos números enteros $n\in x+D\mathbb Z$ se expande como $$ n=p_1\dots p_{k-1}\cdot \frac n{p_1\dots p_{k-1}}\in \mathcal P, $$ ya que el último factor pertenece automáticamente a $c_k+D\mathbb Z$ .