Quiero demostrar la desigualdad $$\Gamma(f,g)^2 \leq \Gamma(f,f) \Gamma(g,g) \ \mu \text {-almost everywhere}$$ para $f, g \in \mathcal{A}$ donde $\Gamma$ denota el operador carré du champ. Más precisamente: Sea $(E, \mathcal{E})$ sea un espacio polaco con $\sigma$ -medida finita $\mu$ . La función $\Gamma: \mathcal{A} \times \mathcal{A} \to \mathcal{A}$ es simétrica, bilineal y satisface $\Gamma(f,f) \geq 0$ $\mu$ -casi en todas partes para todos $f \in \mathcal{A}$ . $\mathcal{A}$ es una subálgebra de $L^\infty(E, \mathcal{E}, \mu)$ que es denso en $L^p(E, \mathcal{E}, \mu)$ para todos $p \in [1, \infty)$ .
Mi idea era copiar la prueba de la desigualdad de Cauchy Schwarz. Obtenemos $$ 0 \leq \Gamma(f - \lambda g, f - \lambda g) = \Gamma(f,f) - 2\lambda\Gamma(f,g) + \lambda^2 \Gamma(g,g) $$ $\mu$ -casi en todas partes para todos $\lambda \in \mathbb{R}$ . Pero no puedo justificar el argumento que define $\lambda := \frac{\Gamma(f,g)}{\Gamma(g,g)}$ ya que la no negatividad de $\Gamma(f - \lambda g, f - \lambda g)$ es sólo $\mu$ casi en todas partes donde los conjuntos de medida cero podrían depender de $\lambda$ .
Otra idea es utilizar la desigualdad de Cauchy Schwarz para la forma bilineal $(f,g) \mapsto \int \Gamma(f,g) \varphi d \mu$ por el hecho de ser fijo $\varphi \in L^1(E, \mathcal{E}, \mu)$ , $\varphi \geq 0$ . Obtenemos $$ \left ( \int \Gamma(f,g) \varphi d \mu \right )^2 \leq \int \Gamma(f,f) \varphi d \mu \int \Gamma(g,g) \varphi d \mu $$ pero no sé cómo obtener una estimación puntual de eso. Hasta donde yo sé, el teorema de diferenciación de Lebesgue falla en los espacios polacos generales.
