Excentricidad que va a cero -- Definición geométrica cónica

Question

Dada una línea recta $D$ un punto $F\notin D$ y un número real positivo $e$ una cónica es un subconjunto de ${\cal P}_2$ definido como: $$ \mathcal{C}(e,F,D) = \{M\in {\cal P}_2,\, d(F,M)=e\,d(M,D) \} $$ donde ${\cal P}_2$ es el plano euclidiano y $d$ es la distancia euclidiana.

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Es bien sabido que cuando $e$ tiende a $0$ , ${\cal C}(e,F,D)$ tiende a una circunferencia y me gustaría verlo a partir de esta definición sin necesidad de hacer cálculos algebraicos. ( podemos demostrar este hecho a partir de cálculos algebraicos calculando las distancias en algún sistema de coordenadas, pero me gustaría evitar este enfoque. )

Veo que $e,F,D$ no son independientes en el sentido de que si $e$ tiende a $0$ entonces $M$ tiene que atender a $F$ y no obtenemos un círculo por lo que debe haber algunas conexiones entre $e$ , $D$ , $F$ . Pero entonces significa que la definición anterior no está "bien planteada". Además, al estar definida una cónica por una ecuación polinómica de grado inferior a 2 (por tanto, 5 coeficientes considerados como parámetros), no debería haber conexión entre $e$ (1 parámetro), $F$ (2 parámetros), y $D$ (2 parámetros)... ¿Qué me falta aquí?

Un segundo punto supone que hay una conexión entre $e,F,D$ y tengo la sensación de que cuando $e$ tiende a $0$ entonces $D$ como para ser visto como un punto en el infinito. Este marco debe estar relacionado con la geometría proyectiva y me gustaría que hubiera algunos desarrollos en este sentido para poder deducir el círculo como límite. Una idea es que como tenemos un punto al infinito, el objeto tiene que ser invariante por cualquier rotación. Además es un conjunto convexo por lo que es un círculo... Tengo que poner algo de matemáticas en esta idea y creo que la geometría proyectiva y el estudio de un grupo de transformaciones que actúan sobre el conjunto deberían llevar a encontrar las simetrías.

Answer 1

Si estás dispuesto a hacerlo en tres dimensiones, puedes utilizar una esfera de Dandelin. Dado $e < 1,$ $F,$ y $D$ se puede construir la línea $\ell_a$ perpendicular a $D$ a través de $F$ y encontrar los dos puntos distintos $M_1, M_2$ en $\ell_a$ tal que $d(F,M_1)=ed(M_1,D)$ y $d(F,M_2)=ed(M_2,D)$ .

Dejemos que $\pi_1$ sea el plano en el que $D$ y $F$ mentira. Coloca una esfera tangente al plano $\pi_1$ en $F.$ Elige el radio de la esfera para que en el plano que pasa por $M_1,$ $M_2,$ y el centro de la esfera se puede encontrar un punto $P$ de la cual las líneas a través de $P$ y $M_1$ o $M_2$ son tangentes a la esfera. (Hay un radio para el que las tangentes serían paralelas; elige cualquier otro). Utiliza $P$ como el vértice de un cono circular recto tangente a la esfera. Sea $\mathcal C'$ sea la intersección de este cono con el plano en el que $F$ y $D$ mentira.

Hay una hermosa prueba que muestra que la curva $\mathcal C'$ cumple las condiciones por las que $\mathcal C$ se definió; se puede ver en esta respuesta . El argumento de esa respuesta pretendía derivar la fórmula de excentricidad del cono, pero deberías poder demostrar la unicidad de esta solución, lo que significa que también deriva el cono de la fórmula.

En particular, en la prueba encontramos que la esfera es tangente al cono a lo largo de una circunferencia, y el plano que pasa por esa circunferencia interseca al plano $\pi_1$ a lo largo de la línea $D.$

Ahora bien, si se gira el cono alrededor del centro de la esfera, el plano que pasa por la circunferencia tangente del cono y la esfera se desplaza y también lo hace su intersección con el plano $\pi_1.$ Si giras el cono para que el ángulo entre los planos disminuya, la intersección está más lejos de $F$ y el cono interseca $\pi_1$ en una nueva sección cónica con una excentricidad menor. Si seguimos llamando a la línea de intersección $D$ y la excentricidad $e,$ en el límite cuando el vértice del cono se aproxima a la línea que pasa por el centro de la esfera perpendicular a $\pi_1,$ la línea $D$ va hacia el infinito y la excentricidad $e$ llega a cero. Además, en el caso límite (cuando los planos son paralelos) la sección cónica es un círculo.

Answer 2

Mantenga $D$ fija y reduce $e$ para que $M$ se acerca cada vez más a $F$ . Al mismo tiempo, $d(M,D)$ se hace cada vez más constante y el lugar tiende a un círculo de radio $e\,d(F,D)$ .

Si quieres que el radio sea $R$ , dilata toda la figura en $\dfrac{R}{e\,d(F,D)}$ . Para la excentricidad $0$ se obtiene un círculo perfecto con una línea en el infinito.

Answer 3

Para esta definición $e\to 0$ implica en realidad la curva que tiende a un círculo. El "problema" podría ser, que es un círculo que se desvanece - es una elipse con relación de semiejes que tiende a $1$ mientras que ambos semiejes tienden a $0$ porque $d(M,D)\to d(F,D)$ está acotado y es distinto de cero, por lo que $d(M,F) = e\,d(M,D)\to 0$ .