La legitimidad de la reducción de la mod p un complejo de multiplicación de la acción de una curva elíptica?

Question

Fregué Silverman dos libros sobre la aritmética de curvas elípticas para encontrar una respuesta a la siguiente pregunta, y no encontrar una respuesta:

Dada una curva elíptica E definido sobre H, en un campo de número, con complejo de la multiplicación por R, y P es un alojamiento ideal en la máxima orden de H y E tiene buena reducción de la P. Es legítimo para reducir un endomorfismo de E mod P?

En el capítulo de "Complejo de Multiplicación" de la avanzada de la aritmética de los temas del libro por Silverman, un par de proposiciones y teoremas mencionar la reducción de un endomorfismo mod P.

A priori, esto no parece trivial para mí. Seguro, el endomorfismo se compone de dos polinomios con coeficientes en H. Pero todavía no veo por qué si un punto P está en el núcleo de la reducción de la mod P, ¿por qué phi(Q) también hay. Cuando pongo Q dentro de los dos polinomios, ¿cómo puedo estar seguro de que P es todavía en el "denominador" de su phi(Q)?

(*) He mirado las curvas con CM por sqrt(-1), sqrt(-2) y sqrt(-3), y parece convincente que se puede reducir a la CM de acción de la mod de cada primer, excepto tal vez en el caso de sqrt(-2) en la ramificado prime.

Answer 1

No estoy seguro de si hay una forma trivial de ver esto. Una respuesta es a utilice el hecho de que cada racional mapa a partir de una variedad X / $\mathbb{Z}_p$ a un abelian esquema es en realidad definidas en todos los de X (véase, por ejemplo, Milne abelian variedades de notas). Aquí, desde el genérico de la fibra es abierto en X, se puede aplicar esta viendo el mapa con el que comenzó como un racional mapa.

Answer 2

Deje $\mathcal{E}$ denotar la Nerón modelo de $E$$R$$k=R/P$. Por lo tanto $\mathcal{E}$ es el único (hasta el isomorfismo) liso conmutativa esquema de grupo sobre $R$ con el genérico de fibra de $E$ tal que para cualquier liso $X/R$ natural mapa de $\mathcal{E}(X)\to E(X_H)$ es un isomorfismo. A continuación, " $E$ mod $P$" es un especial de fibra de $\mathcal{E}_k = \mathcal{E}\times_R k$. (Esto tiene sentido y es canónica incluso si $E$ tiene mala reducción en $P$.) Ahora tome $X=\mathcal{E}$ en la definición de Nerón modelo. Su endomorfismo $\varphi$ es sólo un elemento de $E(E) = \mathcal{E}(\mathcal{E})$, por lo que se extiende únicamente a un morfismos $\tilde{\varphi}:\mathcal{E} \to \mathcal{E}$. La Base de la ampliación de $\tilde{\varphi}$ $k$ los rendimientos de la reducción de la $\overline{\varphi}: \mathcal{E}_k \to \mathcal{E}_k$. En particular, $\overline{\varphi}$ está definido (es "legítimo"). Incluso tiene sentido cuando la reducción es malo en la $P$, pero, claro, entonces se trata de un mapa en fibras especiales de Nerón modelos.

El por encima de todo tiene sentido para abelian variedades así. Si usted quiere entender cualquier pregunta acerca de la reducción de abelian variedades, el aprendizaje de Nerón modelos es una muy buena idea. Algunas referencias son Silverman "temas Avanzados en la aritmética de curvas elípticas" que usted menciona arriba (sólo para curvas elípticas), y Bosch-Lutkebohmert-Raynaud "Nerón Modelos" en general.