Prueba por contraejemplo

Question

Si $n$ es primo, entonces $\sqrt{n}$ es irracional. Demuestra esta afirmación.

Si tuviera que demostrar esto usando la prueba por contradicción, lo haría:

Supongamos que $n$ es primo y $\sqrt{n}$ es racional. Sea $\sqrt{n}=\frac{a}{b}$ donde $a,b\in \mathbb{R}$ y no tienen ningún factor común más que 1.

Y luego seguiría y obtendría una contradicción como $a$ es par y $b$ está en paz.

Sin embargo, me preguntaba si también podría utilizar la prueba por contraejemplo:

( $n$ es primo) $\Rightarrow$ ( $\sqrt{n}$ es irracional)

La negación de esta afirmación es:

( $n$ es primo) $\land$ ( $\sqrt{n}$ es racional)

Un ejemplo contrario es $n=2$ .

Por lo tanto, esta afirmación queda refutada y, en consecuencia, se demuestra que su negación es verdadera.

¿Es ésta también una prueba válida?

Answer 1

La reclamación está en texto plano

"Por cada prima $n$ , $\sqrt{n}$ es irracional".

La negación está en texto plano

"Hay algunos primos $n$ , de tal manera que $\sqrt{n}$ es racional".

Esto no es una afirmación sobre todos los primos, sino sólo sobre algunos. Por lo tanto, no podemos refutarla con un solo contraejemplo.

Para ver el fallo: Supongamos $\sqrt{5}$ sería racional. Entonces la afirmación sería falsa ya que $5$ es primo, pero $\sqrt{5}$ no sería irracional. Verás, que el caso $n=2$ no es suficiente.