Elementos invertibles de un anillo cociente de $ℝ[x]$ .

Question

Me dieron el siguiente problema como parte de una tarea de álgebra:

Déjalo: $$f(x)=15x^3+8x^2+5x+9 \in [x]$$ y $$I=\langle f(x)\rangle$$ el ideal generado por $f(x)$ .

Si $[x]/I$ es el anillo cociente módulo I, entonces encuentre todos los elementos invertibles de $[x]/I$ y análogamente todos los elementos invertibles del anillo cotizante $[x]/I$ .

Mi enfoque hasta ahora: Imagino que no se espera que lleguemos a un determinado conjunto de elementos específicos, sino que los describamos en su forma general.

Por lo tanto, dejemos que $p(x)$ sea un elemento de $[x]/I$ . Entonces, $p(x)$ es de la forma: $$ax^2+bx+c$$
Desde $$deg(p(x))<deg(f(x))$$ y $a,b,c \in $ , no todo es cero

Dejemos que $p(x)\in U([x]/I)$ , donde $U([x]/I)$ denota el conjunto de todos los elementos invertibles en $[x]/I$ .

Entonces, dejemos que $$q(x)=a'x^2+b'x+c'$$ sea su inversa. Se deduce que: $$(q(x)+I)(p(x)+I)=1_{[x]}+I=1+I$$
Así que, $$(q(x)p(x)-1)\in I$$ y si utilizamos las expresiones de $q,p$ :

$$(a'x^2+b'x+c')(ax^2+bx+c)-1 \in I$$ $$aa'x^4+9ab'+a'bx^3+(ac'+bb')x^2+(bc'+cb')x+cc'-1\in I$$

Si entiendo bien, esto significa que la expresión anterior debe ser generada de alguna manera por $f(x)$ y su grado debe ser igual al grado de $f(x)$ . Pero, ¿a dónde nos lleva eso? ¿Cómo puedo continuar -si este enfoque puede funcionar- y encontrar una forma general para las inversas?

Para ser más específico, ¿debo encontrar expresiones de $a',b',c'$ en relación con $a,b,c$ ? ¿En qué condiciones se aplicarán?
Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Si ℝ[x]/I es el anillo de división módulo $I$ ...

Supongo que quieres decir "anillo de cociente". "Anillo de división" significa algo totalmente distinto: un anillo de división es un campo no conmutativo. Esto es importante porque este cociente no es un campo (o anillo de división tampoco.)

entonces encuentra todos los elementos inversos de ℝ[x]/I

¿Se refiere a encontrar todos los invertible ¿elementos? Debe ser imposible especificar una forma general de elementos invertibles, pero se puede decir que los polinomios invertibles son los coprimos a $f(x)$ .

igualmente todos los elementos inversos del anillo [cociente] ℚ[x]/I.

Aquí se puede trabajar para demostrar que $f(x)$ es irreducible sobre $\Bbb Q$ por lo que el cociente es una extensión de campo de $\Bbb Q$ de grado $3$ . Todos los elementos no nulos son invertibles.

Answer 2

En cierto modo, el caso interesante es cuando la base es $\Bbb R$ en lugar de $\Bbb Q$ . Ves que la derivada de tu polinomio cúbico es una cuadrática con discriminante negativo, por lo que no hay máximo ni mínimo local. Es decir, tu polinomio cúbico representa una función de valor real estrictamente monótona, por lo que sólo tiene una raíz real, que llamaré $\rho$ . Podemos escribir $f/15=x^3+8x^2/15+x/3 +3/5=(x-\rho)(x^2+bx+c)$ donde el factor cuadrático tiene dos raíces complejas (no reales) $z$ y $\bar z$ . Ahora, esperamos $\Bbb R[x]/(f)$ para tener la forma $\Bbb R\oplus\Bbb C$ con adición y multiplicación por coordenadas, y efectivamente obtenemos nuestro isomorfismo $\psi:\Bbb R[x]/(f)\to\Bbb R\oplus\Bbb C$ definiendo $\psi(g)=\bigl(g(\rho),g(z)\bigr)$ . Desde $g$ tiene coeficientes reales, $g(\rho)\in\Bbb R$ y $g(z)\in\Bbb C$ . La respuesta a su pregunta de qué $g$ son invertibles es fácil ahora: necesitas ambos $g(\rho)\ne0$ y $g(z)\ne0$ .

Para el caso menos interesante de $\Bbb Q[x]/(f)$ sabes que cada elemento es representable de forma única como un polinomio $a+bx+cx^2$ y ésta es invertible si y sólo si al menos una de $a$ , $b$ , $c$ es distinto de cero.