Partículas y ondas: ¿Definición formal / rigurosa?

Question

Estoy empezando a leer Mecánica Cuántica.

En Física los fenómenos que observamos se representan como onda y/o partícula .

Quería comprobar si tenemos un formal, riguroso (matemáticamente) definición de Ola y Partículas

Así, por ejemplo, si digo que el "electrón" es una partícula, ¿qué significa? formalmente ?

(Entiendo que cualquier formalidad de este tipo probablemente introducirá una suposición / abstracción)

Answer 1

Empecemos por las nociones informales que han de cristalizar en cualquier definición formal. La forma en que enseño esto en física de primer año es que una onda es algo que tiene superposición, mientras que una partícula es algo de lo que no se puede tener la mitad. Desde el punto de vista conceptual, es importante descartar todo el bagaje psicológico que conllevan estos términos. Por ejemplo, los estudiantes tienden a pensar que las partículas deben tener masa y las ondas no, pero esto es erróneo. La gente también tiende a pensar que una partícula tiene una trayectoria, pero esto no es así, como demuestra el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Más formalmente, creo que los físicos suelen definir una onda como algo que obedece a una ecuación diferencial parcial hiperbólica aunque esto es demasiado estricto para QM. La interpretación es que tenemos una ecuación para la cual las soluciones de Problemas de Cauchy existen y son únicos. Normalmente, una EDP hiperbólica tiene soluciones oscilantes (a diferencia, por ejemplo, de la ecuación del calor, que es parabólica). Esto se ajusta más o menos a la mecánica cuántica, pero no del todo. La ecuación de Schrodinger no relativista e independiente del tiempo es un ejemplo de EDP hiperbólica en mecánica cuántica. Sin embargo, la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo (TDSE) en realidad no se ajusta a los criterios técnicos, pero muestra un comportamiento similar, como tener soluciones oscilatorias y tener existencia y unicidad para los problemas de valor inicial.

Una EDP hiperbólica no tiene por qué ser lineal. Sin embargo, en la mecánica cuántica la ecuación de Schrodinger es siempre exactamente lineal. Esto se ajusta a la motivación conceptual de que las ondas obedecen a la superposición. Posiblemente una forma más apropiada de captar la idea es que todos los estados en la mecánica cuántica están conectados. Esto se expresa mediante el axioma 5 de Hardy. Así, por ejemplo, se puede tener un estado en el que el gato está muerto y otro en el que está vivo, y en el lenguaje de Hardy "existe una transformación continua reversible" entre los estados vivo y muerto.

En realidad, la mecánica cuántica no tiene nada que ver fundamentalmente con las ondas. Si se observa una axiomatización como la de Mackey o Hardy, ni siquiera requieren la existencia del espacio. Por ejemplo, se puede tener un ordenador cuántico, que se modela simplemente como una colección de qubits que interactúan.

En los sistemas no relativistas, la mecánica cuántica incorpora la noción de partícula sólo de forma muy indirecta, a través del hecho de que se asume un espacio de Hilbert, y el hamiltoniano es unitario. Esto garantiza que las funciones de onda pueden ser normalizadas, y que permanecerán normalizadas. Conectar esto con la noción de partícula es una interpretación indirecta, pero la idea es que si empezamos con un electrón, seguiremos teniendo un electrón, no medio electrón. Extender esto a más de una partícula es sencillo en el caso no relativista.

En sistemas relativistas, $E=mc^2$ dice que en general podemos crear y destruir partículas, por lo que las soluciones no van a ser estados de buen número de partículas. Sin embargo, los valores propios del operador de número de partículas van a ser enteros. En sistemas como la axiomatización de Wightman, esto parece producirse de una manera indirecta y engañosa, ya que los axiomas no mencionan directamente nada sobre los operadores de creación y aniquilación. Sin embargo, los axiomas son lo suficientemente fuertes como para demostrar cosas como la espín-estadística, que se refiere implícitamente a lo que consideraríamos como partículas. En general, el consejo conceptual que escucho de la gente que sabe de QFT (que yo no soy) es que la QFT trata de campos, no de partículas. Las partículas son un concepto secundario, no primario.

Resumen

En 1927, en el nacimiento de la mecánica cuántica, se pensó que la dualidad onda-partícula era una noción fundamental en la MC, pero en realidad las axiomatizaciones modernas de la mecánica cuántica no hacen referencia a las ondas ni a las partículas. Estos conceptos aparecen indirectamente. La noción de onda se plasma en el hecho de que, para muchos sistemas de mecánica cuántica que se desarrollan en un fondo de espacio, las soluciones son oscilatorias, y también en el hecho de que siempre podemos transformar continuamente cualquier estado en cualquier otro (como en la superposición de ondas). La noción de partícula se plasma en la QFT en el hecho de que los operadores numéricos de partículas tienen valores propios enteros.

Referencias

Hardy, "La teoría cuántica a partir de cinco axiomas razonables". http://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012

Mackey, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, 1963

Answer 2

El comportamiento de una "partícula" subatómica está asociado a un paquete de ondas de lado finito. La idea de la partícula resulta de la observación de que la interacción dos tales ondas parece ocurrir dentro de un volumen de menos de tamaño atómico.