¿Qué es exactamente la densidad de probabilidad?

Question

Estoy bastante confundido:

$$ f_x(x) = 4x^2 \text{ for } 0<x<1 \text{ else } f_x(x) = 0$$

Ahora para la función de masa de probabilidad equivalente es fácil de ver. En el eje X tenemos el valor de la variable aleatoria $X$ y en el eje Y tenemos la correspondiente probabilidad de ese valor exacto $p_{X_i}$

Pero esto no puede ser igual para las variables aleatorias continuas, porque por ejemplo la función que definí tiene para el valor $x=1$ el valor en el eje Y es $y=4*1^2 = 4 $ que no puede ser una probabilidad porque $4>1$ . Ahora entiendo que los singletons tienen probabilidad de cero para una variable aleatoria continua, pero todavía no puedo entender correctamente lo que está pasando en el eje Y en palabras simples en contraste con las variables aleatorias discretas.

Entonces, ¿cómo es la forma adecuada de entender qué es exactamente? Me refiero a que la probabilidad tiene que ver con las zonas y los límites de esas zonas.

Answer 1

Por tu pregunta supongo que estás en un curso de introducción a la probabilidad. Así que lo haré lo más sencillo posible

Una función de densidad de probabilidad válida no es más que una función integrable de valor real no negativo (tome integrable de Riemann para simplificar) tal que $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1$ .

Esta función $f$ se dice que es el pdf de un rv continuo $X$ si $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=P(X\in [a,b])=P(a\leq X\leq b)$ . Tenga en cuenta que el intervalo puede ser $(a,b),[a,b),(a,b]$ también .

Ahora puedes ver fácilmente que $f(x)=\begin{cases} 4x^{3}\,,0<x<1\\ 0,\text{otherwise}\end{cases}$ . Satisface que es no negativo y $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^{0} 0\,dx+\int_{0}^{1}4x^{2}\,dx+\int_{1}^{\infty} 0\,dx = 1$ . Así que este es un PDF válido.

Si quieres pensar en términos de probabilidad. Dejemos que $X$ sea un uniforme $[0,1]$ variable aleatoria.

Así que si $Y=\sqrt[4]{X}$ . Entonces $Y$ es también una variable aleatoria.

Así que esto $Y$ tendrá el pdf $4y^{3}\,,0<y<1 $ y $0$ en otro lugar.

Esto es para este pdf en particular $f$ . $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ representa la probabilidad de elegir un número $x$ de manera uniforme y aleatoria de $[0,1]$ tal que $a\leq\sqrt[4]{x}\leq b$ .

En palabras, dado $a$ y $b$ . $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ es la probabilidad de que la raíz cuarta de un número elegido uniformemente y al azar de $[0,1]$ es mayor que igual a $a$ y menos que igual a $b$ .

Answer 2

La definición formal de la densidad de probabilidad es a través del teorema de Radon-Nikodym. Pero creo que eso no es lo que estás buscando en base a la descripción de esta pregunta.

Para dar una visión rápida de la densidad de probabilidad, centrémonos en la palabra "densidad".

Digamos que si tienes una piedra en la mano, ¿cómo describirías "lo grande que es la piedra"? Tal vez dirías

"el tamaño es $2\mathrm{m}^{3}$ "

o

"el peso es bout $2\mathrm{t}$ "

que corresponde a volumen y masa en física. Se trata de dos medidas para describir el tamaño de la piedra. En física, $\textit{density}=\textit{mass}/\textit{volume}$ , así que lo que hace la densidad es que nos diga cómo vincular estas dos medidas .

Ahora volvamos al mundo de las matemáticas, supongamos que te preguntan cuán grande es un intervalo $[a,b]$ es, puedes decirle

la longitud de este intervalo es $b-a$

o

la probabilidad de la variable aleatoria $X$ que cae en este intervalo es $p$

que corresponde a Medida de Lebesgue y (inducido) medida de probabilidad , lo que hace la densidad de probabilidad no es más que tender un puente entre estas dos medidas. Por eso llamamos a esto $f$ una densidad, la intuición que hay detrás es exactamente la misma que el concepto original en física.