Evaluar $\int_{\gamma}xdz$ , donde $\gamma$ es la circunferencia del cuadrado unitario.

Question

Evaluar $\int_{\gamma}xdz$ , donde $\gamma$ es la circunferencia del cuadrado unitario.

La respuesta en el libro de texto construyó cuatro subcurvas $\gamma_{1},...,\gamma_{4}$ sobre los intervalos $[0,1],[1,2],[2,3],[3,4]$ para que $\gamma:[0,4]\to \mathbb{C}$ es entonces la suma de estas curvas. La respuesta que obtuvieron fue entonces $i$ .

Quería ver si podía definir cuatro segmentos de línea todos en el intervalo $[0,1]$ que cada uno se conecta a los puntos finales apropiados $(1,-i), (1,i), (-1,i), (-1,-i)$ . Sin embargo, obtuve la respuesta $4i$ . Pero, ¿es erróneo mi planteamiento? ¿Tengo que asegurarme de que $t$ varía en diferentes intervalos para cada curva?

Por ejemplo, he configurado una de mis curvas para que sea $\gamma_{1}:[0,1]\to \mathbb{C}$ por $\gamma_{1}=(1+i)t+(1-t)(1-i)$ . Este es el segmento de la línea vertical derecha en el cuadrado de la unidad en dirección contraria a las agujas del reloj. Entonces $Re(\gamma_{1})=1$ y $\gamma_{1}'=2i$ . Entonces $\int_{\gamma_{1}}xdz=\int_{0}^{1}Re(\gamma_{1})\gamma_{1}'dt=2i$ .

Answer 1

Has tomado un determinado cuadrado con longitud de lado $2$ De ahí que el resultado sea diferente.

Si tomas el cuadrado unitario en el primer cuadrante, con el origen como un vértice, entonces la integral se divide en cuatro partes. Deberías obtener $i$ porque las integrales superior e inferior se cancelan, mientras que la vertical de la $y$ -El eje es $0$ .