Mostrar que $\lim\limits_n \frac{a_n}{a_{n+1}} = z_0$

Question

Me preguntaba si alguien me podría dar una pista sobre el siguiente problema:

Deje $f$ ser meromorphic en la unidad de disco sólo con un simple poste de $0 \neq z_0 \in D$. Deje $a_0 +a_1z + \cdots$ ser una potencia de la serie representación de $f$$0$. Mostrar que $z_0 = \lim\limits_n \frac{a_n}{a_{n+1}}$

No tengo idea de qué hacer. Desde $z_0$ es el primer lugar donde $f$ no holomorphic, si el límite de $\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$ existe, entonces este límite debería ser $|z_0|$.

Answer 1

La función de $f(z)$ podría estar representada en la unidad de disco como $$f(z) = \frac c {z - z_0} + h(z)$$ where $h(z)$ is the holomorphic function and $c \neq 0 $ is some constant because $z_0$ es el único polo de la unidad de disco.

Debido a $h(z)$ es holomorphic podría ser representado mediante una serie de Taylor en la unidad de disco: $$h(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n z^n,$$ y la función de $\frac {c} {z - z_0}$ podría ser expandida usando la fórmula de series geométricas infinitas: $$\frac c {z -z_0} = -\frac{c}{z_0}\frac{1}{1 - z/z_0} = - \frac{c}{z_0}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{z_0}\right)^n.$$

Así podríamos escribir $f(z)$ como una serie como $$f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(b_n - \frac{c}{z_0^{n+1}}\right)z^n \equiv \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n z^n$$

Debido a que los coeficientes de cerca con los mismos poderes de $z$ debe ser el mismo en cada serie

$$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{b_n - \frac{c}{z_0^{n+1}}} {b_{n+1} - \frac{c}{z_0^{n+2}}} = z_0 \frac{(b_n z_0^n) z_0 - c} {(b_{n+1}z_0^{n+1}) z_0 - c} = z_0 \frac{z_0 h_n - c}{z_0 h_{n+1} - c}$$

donde el $h_n$ $n$- ésimo término de la expansión de Taylor de $h(z)$ evaluado en el punto de $z=z_0$.

La serie de Taylor para $h(z)$ converge para $z=z_0$ porque $h(z)$ es holomorphic en la unidad de disco, por lo $\lim_{n\to \infty}\limits h_n = 0$ y $$\lim_{n\to \infty}\límites \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n\to \infty}\límites \left( z_0 \frac{z_0 h_n - c}{z_0 h_{n+1} - c} \right) = z_0.$$