¿La monotonicidad completa de f implica la log-concavidad de f?

Question

Sea f una función completamente monótona con $f(0)=1$ Es decir, $f:[0, \infty) \rightarrow (0,1]$ . Mi pregunta es:

¿Es f logarítmica cóncava, es decir, es $(logf)''<0$ o de forma equivalente $f f''< f'^2$ . ?

¿Y qué pasa si $f(0)=\infty$ , es decir, si la función es: $f:(0, \infty) \rightarrow (0,\infty)$ .

Answer 1

Un contraejemplo en el segundo caso es $f(x) = e^{1/x}$ . Un contraejemplo en el primer caso es entonces $f(x) = e^{1/(x+1) - 1}$ .

Answer 2

Ejercicio 6 de este libro muestra que si $f: (0,\infty) \to \mathbb{R}$ es completamente monótona, entonces debe ser log-convexa. Por lo tanto, su segunda afirmación se mantiene, con la concavidad sustituida por la convexidad.

Answer 3

En realidad, quise decir log-convexo en lugar de log-cóncavo. Se me escapó un signo menos en mis derivaciones y esto llevó a la conjetura de que log(f) debería ser cóncavo. He encontrado una respuesta más completa en este artículo:

Desigualdades para potencias reales de funciones completamente monótonas H. van Haeringen REVISTA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO Y APLICACIONES Volumen 210, número 1, 1 de junio de 1997, páginas 102-113

El teorema 1 establece una serie de desigualdades para las derivadas de las funciones c.m. En particular, tomando n=0 y m=1 en 3.2 obtenemos la log-convexidad de f. Sugiero la lectura de este trabajo por la revocación del Teorema 1.

Answer 4

Una función no negativa $f(x)$ se dice que es completamente monótona en un intervalo $I$ si $f(x)$ tiene derivados de todas las órdenes en $I$ y $$\begin{equation*} 0\le(-1)^{n-1}f^{(n-1)}(x)<\infty \end{equation*}$$ para todos $x\in I$ y $n\in\mathbb{N}=\{1,2,3,\dotsc\}$ .

Si una función $f(x)$ es no idéntico a cero y completamente monótono en $(0,\infty)$ entonces $f(x)$ y sus derivados $f^{(n)}(x)$ para $n\in\mathbb{N}$ son imposiblemente iguales a $0$ en $(0,\infty)$ .

En cuanto a las funciones completamente monótonas, existen dos tipos de convexidades:

1. Si una función $f(x)$ es completamente monótona en un intervalo $I$ por la definición anterior, es trivial que la función $f(x)$ es seguramente convexo, es decir, $f''(x)\ge0$ en el intervalo $I$ .
2. Si una función $f(x)$ es completamente monótona en el intervalo infinito $(0,\infty)$ entonces la secuencia derivada $f^{(n)}(x)$ en $n\ge0$ para $x\in(0,\infty)$ es seguramente logarítmicamente convexo en $n\ge0$ Es decir, $$\begin{equation} \frac{f^{(i)}(x)}{f^{(i+1)}(x)}\ge\frac{f^{(i+1)}(x)}{f^{(i+2)}(x)}, \quad i=0,1,2,\dotsc, \quad x\in(0,\infty). \end{equation}$$

Una función positiva $f(x)$ se dice que es logarítmicamente completamente monótona en un intervalo $I$ si su logaritmo $\ln f(x)$ satisface $$\begin{equation*} 0\le(-1)^n[\ln f(x)]^{(n)}<\infty \end{equation*}$$ para todos $n\in\mathbb{N}$ en $I$ .

Una función logarítmica completa en un intervalo $I$ debe ser también completamente monótona en $I$ pero no a la inversa.

La definición de funciones completamente monótonas logarítmicamente y la relación anterior entre funciones completamente monótonas y funciones completamente monótonas logarítmicamente demuestran que, si una función $f(x)$ es completamente monótono, pero no logarítmicamente monótono, en un intervalo $I$ entonces es posible, pero no seguro, que la función completamente monótona $f(x)$ es logarítmicamente cóncavo o logarítmicamente convexo en $I$ .

Referencias

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