Convergencia de la integral: $I_{\alpha }=\int _0^{\infty }\left(\frac{e^{-\alpha x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx$

Question

Estudiar la convergencia de la integral: $$I_{\alpha }=\int _0^{\infty }\left(\frac{e^{-\alpha x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx$$ y calcular $I_2$ .

Bien, para estudiar la convergencia estoy utilizando el criterio de convergencia para integrales impropias. Veo que esta es una integral impropia de tipo III así que la divido en dos, así: $$\int _0^{\infty }\left(\frac{e^{-\alpha x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx\:=\int _0^{1\:}\left(\frac{e^{-\alpha \:x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx+\int _1^{\infty \:}\left(\frac{e^{-\alpha \:x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx$$

Entonces me queda una integral impropia de tipo II y otra de tipo I.

Para el primero calculo $$\lambda =lim_{x\rightarrow 0}\left(x^p\left(\frac{e^{-\alpha \:x}}{\sqrt{x}}\right)\:\right)$$ que puedo ver que para $x=1/2$ me dará $\lambda =1$ . Así que tengo $p\lt1$ y $\lambda \lt \infty$ lo que significa que converge.

Ahora para la segunda integral, es una integral de tipo I. Así que calculo $$\lambda =lim_{x\rightarrow \infty }\left(x^p\left(\frac{e^{-\alpha \:x}}{\sqrt{x}}\right)\:\right)$$ que para $p=2$ me dará $\lambda=0$ . Así que tengo $p\gt1$ y $\lambda \lt \infty$ lo que significa que también converge.

No estoy seguro de si todo lo que hice es correcto hasta ahora, porque para mi segunda integral, el límite $\lambda$ también será $0$ para un valor de $p$ inferior a $1$ ( $p=1/2$ ). Además, el $\alpha$ no juega ningún papel en la convergencia de la integral, al menos no por cómo lo hice, así que asumo que hice algo mal.

Y no tengo ni idea de cómo resolver esto $$I_2=\int _0^{\infty \:\:}\left(\frac{e^{-2\:\:x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx$$ que es la segunda parte del ejercicio.

Answer 1

Lo que has hecho parece estar bien. Es importante que $\alpha>0$ para asegurar la convergencia de la integral .

En cuanto a la forma cerrada de la integral, se puede realizar un cambio de variable $$u=\sqrt{x},\quad du=\frac1{2\sqrt{x}}dx,$$ obteniendo $$I_{\alpha }=\int _0^{\infty }\left(\frac{e^{-\alpha x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx=2\int _0^{\infty }e^{-\alpha u^2}\:du=\frac{\sqrt{\pi }}{2 \sqrt{\alpha}}, \quad \alpha>0,$$ donde hemos utilizado un resultado celebrado .