Estudiar la convergencia de la integral: $$I_{\alpha }=\int _0^{\infty }\left(\frac{e^{-\alpha x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx$$ y calcular $I_2$ .
Bien, para estudiar la convergencia estoy utilizando el criterio de convergencia para integrales impropias. Veo que esta es una integral impropia de tipo III así que la divido en dos, así: $$\int _0^{\infty }\left(\frac{e^{-\alpha x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx\:=\int _0^{1\:}\left(\frac{e^{-\alpha \:x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx+\int _1^{\infty \:}\left(\frac{e^{-\alpha \:x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx$$
Entonces me queda una integral impropia de tipo II y otra de tipo I.
Para el primero calculo $$\lambda =lim_{x\rightarrow 0}\left(x^p\left(\frac{e^{-\alpha \:x}}{\sqrt{x}}\right)\:\right)$$ que puedo ver que para $x=1/2$ me dará $\lambda =1$ . Así que tengo $p\lt1$ y $\lambda \lt \infty$ lo que significa que converge.
Ahora para la segunda integral, es una integral de tipo I. Así que calculo $$\lambda =lim_{x\rightarrow \infty }\left(x^p\left(\frac{e^{-\alpha \:x}}{\sqrt{x}}\right)\:\right)$$ que para $p=2$ me dará $\lambda=0$ . Así que tengo $p\gt1$ y $\lambda \lt \infty$ lo que significa que también converge.
No estoy seguro de si todo lo que hice es correcto hasta ahora, porque para mi segunda integral, el límite $\lambda$ también será $0$ para un valor de $p$ inferior a $1$ ( $p=1/2$ ). Además, el $\alpha$ no juega ningún papel en la convergencia de la integral, al menos no por cómo lo hice, así que asumo que hice algo mal.
Y no tengo ni idea de cómo resolver esto $$I_2=\int _0^{\infty \:\:}\left(\frac{e^{-2\:\:x}}{\sqrt{x}}\right)\:dx$$ que es la segunda parte del ejercicio.
