¿Qué es un espacio métrico?

Question

Según la teoría categórica, los objetos de una categoría son sólo una forma de separar los morfismos. Los objetos en sí mismos se consideran ligeramente despreciables. En particular, si no puedo distinguir entre dos objetos mediante morfismos, entonces debo considerarlos equivalentes (no iguales, eso sería malvado ).

Desde este punto de vista, pues, los espacios métricos con funciones continuas están simplemente equivocados. La categoría de los espacios métricos es equivalente a la subcategoría completa de los espacios topológicos que consiste en los espacios metrizables. La elección de una métrica es mala.

Entonces, ¿cuál es la visión correcta de los espacios métricos, que hace que la métrica valga la pena y no sea (tanto) una elección arbitraria?

Pongo el "tanto de" porque la respuesta obvia es tener isometrías como morfismos, pero entonces la categoría se vuelve demasiado rígida para ser de alguna utilidad concebible. Entonces, ¿cuál es el mejor término medio?

Answer 1

Una clase interesante de morfismos que se sitúa entre las incrustaciones isométricas y los mapas bi-Lipschitz (tanto el mapa como su inverso son Lipschitz) es la clase de incrustaciones casi isométricas. Hay dos definiciones naturales de esto. Sea $X$ y $Y$ sean espacios métricos.

(1) Una incrustación casi isométrica de $X$ en $Y$ es una secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ de mapas $f_n:X\to Y$ tal que para alguna secuencia $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb N}$ de reales positivos que convergen a cero, para cada $n$ , $f_n$ es bi-Lipschitz de constante $\varepsilon_n$ .
La composición de dos incrustaciones casi isométricas $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ y $(g_n)_{n\in\mathbb N}$ (de dominios y rangos apropiados) es $(f_n\circ g_n)_{n\in\mathbb N}$ .

(2) Si no te gusta que una incrustación casi isométrica como la definida anteriormente no tenga un rango fijo en el sentido clásico, cambia la definición exigiendo que cada $f_n$ tiene el mismo alcance.

$X$ y $Y$ son casi isométricas si existe una incrustación casi isométrica como en (2) de $X$ en $Y$ (todos $f_n$ están en $Y$ ).

Por ejemplo, dos subconjuntos densos contables cualesquiera de $\mathbb R$ son casi isométricos (argumento de ida y vuelta), pero no necesariamente isométricos, simplemente porque hay $|\mathbb R|$ muchas distancias posibles, pero sólo un número contable de ellas se realiza en un conjunto contable fijo.

Answer 2

Me han dicho que los morfismos son mapas contractivos; mapas con $d(f(x), f(y)) \leq d(x,y)$ para todos $(x,y)$ en el dominio. Pero no me han explicado por qué es la mejor opción.

Answer 3

Las contracciones son probablemente demasiado restrictivas. Además, una función que mapea todo el espacio a un punto es (trivialmente) una contracción. Yo apostaría por funciones de Lipschitz con una inversa de Lipschitz, que es lo que más se parece a la definición de homeomorfismo (topológico). Quizá quieras considerar los mapas Lipschitz locales (es decir, Lipschitz en todos los subespacios compactos).