Una visión clásica de la teoría de las categorías de los espacios métricos dice que los mapas "correctos" son los que disminuyen la distancia: $$ d(f(a), f(a')) \leq d(a, a') $$ donde $A$ y $B$ son espacios métricos, $f: A \to B$ y $a, a' \in A$ . Entonces todos los mapas son continuos, y los isomorfismos son las isometrías onto.
Esto proviene de considerar los espacios métricos como categorías enriquecidas, como propone Lawvere . Los funtores enriquecidos son entonces exactamente los mapas de distancia decreciente.
Editar Permítanme añadir algunos detalles. Considere el conjunto $V=[0, \infty]$ de reales no negativos. (La inclusión de $\infty$ no es importante aquí). Está ordenado por $\geq$ y, por tanto, puede considerarse una categoría: hay un mapa $x \to y$ si $x \geq y$ y no hay mapas $x \to y$ de lo contrario. Se convierte en un monoidal categoría bajo $+$ y $0$ .
A $V$ -es entonces un conjunto $A$ de objetos (o puntos) junto con, para cada par $(a, b)$ de puntos, un objeto $A(a, b)$ de $V$ --- es decir, un real no negativo, que tal vez prefieras llamar $d(a, b)$ . La composición se convierte entonces en la desigualdad del triángulo, e identifica la afirmación de que la distancia de un punto a sí mismo es $0$ . Por lo tanto, un $V$ -La categoría enriquecida es un "espacio métrico generalizado": no hay ningún requisito de simetría (por lo que se podría tomar la distancia como el trabajo realizado al moverse entre puntos de una región montañosa) o que los puntos disten $0$ aparte son iguales (que es como no pedir que los objetos isomorfos de una categoría sean iguales).
Entonces debería poder ver que $V$ -Los funtores enriquecidos son lo que dije que eran.
Editar los mapas de Lipschitz No quiero evangelizar este punto de vista demasiado. Pero es un hecho que los mapas de Lipschitz hacer surgen de forma natural en este marco.
Para explicar esto, primero tengo que explicar un poco sobre el "cambio de base' para las categorías enriquecidas. Cualquier functor monoidal laxo $\Phi: \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ induce un functor $\Phi_*: \mathcal{V}-\mathbf{Cat} \to \mathcal{W}-\mathbf{Cat}$ En un obvio forma obvia. Por ejemplo, si $\Phi: \mathbf{Vect} \to \mathbf{Set}$ es el functor olvidadizo, entonces $\Phi_*$ envía una categoría lineal a su categoría ordinaria subyacente.
Esto significa que dado un laxo monoidal $\Phi: \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ , a $\mathbf{V}$ -categoría enriquecida $\mathbf{A}$ y un $\mathbf{W}$ -categoría enriquecida $\mathbf{B}$ podemos definir un $\Phi$ -functor enriquecido $\mathbf{A} \to \mathbf{B}$ para ser un $\mathcal{W}$ -functor enriquecido $\Phi_*(\mathbf{A}) \to \mathbf{B}$ . Uno también podría llamarse "functor sobre $\Phi$ '.
Es una teoría de categorías enriquecidas completamente general. Ahora vamos a aplicarla a $\mathcal{V} = \mathcal{W} = [0, \infty]$ . Para cualquier $M \geq 0$ , multiplicación por $M$ define un functor monoidal (estricto) $M\cdot -: [0, \infty] \to [0, \infty]$ . Sea $A$ y $B$ sean espacios espacios. Entonces un $(M\cdot -)$ -functor enriquecido de $A$ a $B$ es precisamente una función $f: A \to B$ tal que $$ d(f(a), f(a')) \leq M\cdot d(a, a') $$ para todos $a, a' \in A$ . En otras palabras, es un mapa Lipschitz.
Se puede exprimir un poco más de esto. Los mapas $M\cdot -$ son los estricto endofunctores monoidales de $[0, \infty]$ . Pero podemos hablar sobre $\phi$ -mapas enriquecidos de espacios métricos para cualquier lax endofunctor monoidal de $[0, \infty]$ . El término "monoidal" significa que $$ \phi(0) = 0, \ \ \ \ \ \ \phi(x + y) \leq \phi(x) + \phi(y), $$ que es una especie de propiedad de concavidad (satisfecha por $\phi(x) = \sqrt{x}$ , por ejemplo). Entonces a $\phi$ -mapa enriquecido de $A$ a $B$ es una función $f: A \to B$ tal que $$ d(f(a), f(a')) \leq \phi(d(a, a')) $$ para todos $a, a' \in A$ . ¿Se encuentra útil este tipo de mapa?
