La regla de L'Hospital y los poderes indeterminados

Question

¿Qué es? $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{17x}{17x+9}\right)^{3x}$ ?

He intentado resolver este problema y no he podido entenderlo.

Sé que es una ecuación exponencial del tipo $\infty^{\infty}$ . Tengo que $3x (\ln 17x - \ln (17x+9) = \ln y$ .

¿Cómo debo proceder a partir de ahí? ¿Estoy haciendo esto incorrectamente en primer lugar?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \begin{align*} \lim_{x \to \infty} \left(\frac{17x}{17x+9}\right)^{3x} &= \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{1}{1+\frac{9}{17x}}\right)^{3x} = \lim_{x\to\infty}\left[\dfrac{1}{\left(1+\frac{9}{17x}\right)^{17x/9}}\right]^{27/17}\\ &= \left[\dfrac{1}{\lim\limits_{x\to\infty} \left(1 + \frac{9}{17 x}\right)^{17x/9}}\right]^{27/17} = \left(\dfrac{1}{e}\right)^{27/17} = \dfrac{1}{e^{27/17}} \end{align*} $$

Answer 2

Despacio: Si estoy leyendo/interpretando su función correctamente, tenemos $$\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{17x}{17x+9}\right)^{3x}$$

no es de la forma $\infty^\infty$ . Tenemos

$$ \left(\dfrac{17x}{17x+9}\right)^{3x} \to 1^\infty \;\text{ as}\;\; x\to \infty$$

Desde

$$ \begin{align} \lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{17x}{17x+9}\right)^{3x} & = \lim_{x\to \infty} \left(1 - \dfrac{9}{17x + 9}\right)^{3x} \end{align} $$

Answer 3

Básicamente $$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{17x}{17x+9}\right)^{3x} = \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{9}{17x+9}\right)^{3x} $$ $$= \lim_{x\to\infty}\left(1-3\frac{9}{17x+9}+3\left(\frac{9}{17x+9}\right)^2+\left(\frac{9}{17x+9}\right)^3\right)^{x} $$ $$= \lim_{x\to\infty}\left(1-3\frac{9}{17x+9}\right)^{x} = \lim_{x\to\infty}\exp\left(x\log\left(1-\frac{27}{17x+9}\right)\right) $$ $$= \lim_{x\to\infty} \exp\left(x\left(-\frac{27}{17x+9}\right)\right) = \lim_{x\to\infty} \exp\left(-\frac{27x}{17x+9}\right) = e^{-\frac{27}{17}}.$$

Answer 4

Para llevarlo a cabo de la forma en que lo estabas planteando, tomando el logaritmo natural de la expresión y aplicando la "ley límite" correspondiente, nos lleva a

$$\ln \lim_{x \rightarrow \infty} y = \lim_{x \rightarrow \infty} \ln y= \lim_{x \rightarrow \infty} 3x \cdot [ \ln (17x) - \ln (17x + 9) ] ,$$

que ahora es un límite de "producto indeterminado" con un factor de "diferencia indeterminada" incluido. (Esto es lo que tenías hasta ahora.) Generalmente, para que esto esté listo para l'Hopital formando una "relación indeterminada", es mejor colocar términos logarítmicos en el numerador. Desde aquí,

$$\ln \lim_{x \rightarrow \infty} y = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[ \ln (17x) - \ln (17x + 9) ]}{\frac{1}{3x}} ,$$

para lo cual la "sustitución directa" nos da el resultado $\frac{0}{0}$ (no es difícil demostrar que el límite de la diferencia es cero). Ahora estamos preparados para aplicar la LHR:

$$\ln \lim_{x \rightarrow \infty} y = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[ \ln (17x) - \ln (17x + 9) ] '}{(\frac{1}{3x})'} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ (\frac{1}{x}) - \frac{17}{(17x + 9)}}{(-\frac{1}{3x^2})}$$

[ $\frac{d}{dx} \ln(kx) = \frac{d}{dx} [\ln(k) + \ln(x)] = 0 + \frac{1}{x}$ ]

$$= \lim_{x \rightarrow \infty} -\frac{(3x^2)[(17x + 9) - 17x]} {x(17x + 9)} = \lim_{x \rightarrow \infty} -\frac{(3x^2) \cdot 9} {17x^2 + 9x} = -\frac{27} {17} .$$

Así que, por fin, $\ln \lim_{x \rightarrow \infty} y = -\frac{27} {17} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty} y = e^{-27/17} $ . Su enfoque funciona, pero requiere algo de cuidado y paciencia (he tenido que pillar mis "errores aritméticos" un par de veces...)

Como sugieren esto y las demostraciones de los otros respondedores, el límite en el infinito de una potencia de una función racional será alguna potencia de $e$ .