Tengo un gran problema con respecto a la igualdad de las integradas en la ley de Gauss. Dada la forma integral tenemos que $$\oint_{\partial\Omega}\vec{E}\cdot\vec{dS}=\int_{\Omega}\nabla\cdot \vec{E}dV={1\over \epsilon_0}\int_{\Omega}\rho \ dV$$
Aquí en este enlace https://physics.stackexchange.com/questions/23190/where-is-the-flaw-in-deriving-gausss-law-in-its-differential-form dice que podemos concluir que $$\nabla\cdot \vec{E}={1\over \epsilon_0}\rho$$ porque la igualdad de las integrales es válida para toda la región $\Omega$ del espacio.
Pero, ¿cómo podemos $\mathbf{formally}$ demostrar este resultado por lo que podemos formular el siguiente teorema:
Dejemos que $f,g:\mathbb R^3 \to \mathbb R$ . Sea $\Omega$ sea cualquier región arbitraria en $\mathbb R^3$ suponga que $$\int_{\Omega}f=\int_{\Omega}g$$ entonces $f=g$
Saber incluso si este teorema se mantiene, el segundo problema es que la región en la ley de Gauss es una región cerrada (porque utilizamos el teorema de la divergencia) por lo que mi segunda pregunta es que si el teorema también sería cierto sólo para las regiones cerradas?
Les agradecería mucho si me pueden ayudar con este problema
