p-Norm con p $\to$ infinito

Question

Tengo que demostrarlo:

para todos los vectores $v\in \Bbb R^n$ : $\lim_{p\to \infty}||v||_p = \max_{1\le i \le n}|v_i|$

con el $||\cdot ||_p$ norma definida como $$ ||\cdot ||_p: (v_1, \dots ,v_n) \to (\sum^n_{i=i} |v_i|^p)^{1/p} $$

Creo que una vez leí algo sobre mezclar la raíz y la misma potencia con la potencia que va al infinito pero no recuerdo nada concreto. ¿Alguna idea?

Gracias de antemano

Answer 1

Sugerencia: Para el límite superior, observe que

$$ \left(\sum_{i=1}^n |v_i|^p\right)^{1/p}\leq\left(\sum_{i=1}^n \max|v_i|^p\right)^{1/p}=n^{1/p}\max|v_i|. $$

Para el límite inferior, observe que

$$ \left(\sum_{i=1}^n |v_i|^p\right)^{1/p}\geq\left( \max|v_i|^p\right)^{1/p}=\max|v_i|. $$

Ahora, toma los límites.

Answer 2

Como una norma está completamente descrita por su bola unitaria, veamos la forma en que las bolas unitarias de $||.||_p$ convergen.

Véanse las imágenes (clásicas) de las bolas unitarias de $||.||_1 (square), ||.||_2 (circle), ||.||_3$ y $||.||_9$ en $\mathbb{R}^2$ . Estas bolas son cada vez más "cuadradas" ya que $p$ aumenta, siendo el cuadrado límite descrito por la ecuación $\max(|x|,|y|)=1$ , proporcionando una intuición geométrica sobre la forma en que se obtiene el límite.

véase https://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space .