¿Cuál es el valor medio de la coordenada cartesiana mínima en la esfera unitaria?

Question

Al responder Cómo calcular la distancia mínima de Hamming esperada con 3 cadenas necesitaba integrar la coordenada cartesiana mínima sobre la esfera unitaria. Debido a que esto parece un problema interesante en sí mismo, lo estoy publicando como una pregunta y respuesta separada.

Entonces, ¿cuál es el valor medio de la coordenada cartesiana mínima sobre la esfera unitaria?

Answer 1

Por simetría, podemos integrar sobre el ángulo sólido en el que $x$ es la coordenada mínima y se multiplica por $3$ . La integración puede realizarse en coordenadas esféricas $x=\sin\theta\cos\phi$ , $y=\sin\theta\sin\phi$ y $z=\cos\theta$ :

\begin{eqnarray} \frac3{4\pi}\int\limits_{x\lt\min(y,z)}x\,\mathrm d\Omega &=& \frac3{4\pi}\int_{\frac\pi4}^{\frac{5\pi}4}\int_0^{\operatorname{arccot}\cos\phi}\sin^2\theta\mathrm d\theta\cos\phi\mathrm d\phi \\ &=& \frac3{4\pi}\int_{\frac\pi4}^{\frac{5\pi}4}\frac12\left(\operatorname{arccot}\cos\phi-\frac{\cos\phi}{1+\cos^2\phi}\right)\cos\phi\mathrm d\phi \\ &=& -\frac3{4\sqrt2} \\ &\approx& -0.53033\;. \end{eqnarray}

Por simetría, el valor medio del máximo La coordenada cartesiana sobre la esfera unitaria es entonces $\frac3{4\sqrt2}$ .