¿Por qué se piensa en las escuadras y potencias de Steenrod?

Question

Estoy estudiando las operaciones de Steenrod del libro de Hatcher. Al igual que la homología, uno puede utilizarlas sólo conociendo los axiomas, sin preocuparse por la construcción real. Pero mientras que hay muchas razones intuitivas para introducir la homología, no encuentro ninguna para las operaciones de Steenrod. Puedo seguir los pasos de las pruebas dadas por Hatcher, pero no entiendo por qué se introducen todos estos espacios como $\Lambda X$ , $\Gamma X$ y así sucesivamente (en la notación de Hatcher, no sé si es universal). ¿Alguien sabe cómo conseguir una comprensión intuitiva de lo que está pasando?

Answer 1

Las operaciones de Steenrod son un ejemplo de lo que se conoce como funcionamiento de la energía . Las operaciones de potencia resultan del hecho de que el producto taza es "conmutativo, pero no demasiado conmutativo". Las operaciones provienen de un "refinamiento" de la operación de tomar $p$ potencias (cuadrados si $p=2$ ), cuya construcción se basa en esta divertida versión de la conmutatividad.

Una clase de cohomología en $X$ equivale a un mapa $a: X\to R$ , donde $R = \prod_{n\geq0} K(F_2,n)$ . Por lo tanto, el producto de la copa de $a$ y $b$ viene dada por $$X\times X \to R\times R \xrightarrow{\mu} R.$$ En otras palabras, el espacio $R$ lleva un producto, que codifica el producto de la copa. (Hay otro producto en $R$ que codifica adición de las clases de cohomología).

Se podría esperar, ya que el producto taza es asociativo y conmutativo, que si se toma el $n$ potencia de una clase de cohomología, se obtiene una clase de cohomología en el cociente $X^n/\Sigma_n$ , donde $\Sigma_n$ es el grupo simétrico, es decir $$X^n \xrightarrow{a^n} R^n \rightarrow R$$ debe ser un factor a través del cociente $X^n/\Sigma_n$ . Esto no es del todo correcto, porque el producto taza es realmente sólo conmutativo hasta infinitas homotopías (es decir, es una "estructura E-infinita" en $R$ ). Esto quiere decir que hay un espacio contraíble $E(n)$ con una acción libre de $\Sigma_n$ y un mapa de productos: $$\mu_n' : E(n)\times R^n\to R$$ que es $\Sigma_n$ invariante, por lo que es un factor a través de $(E(n)\times R^n)/\Sigma_n$ . Por lo tanto, dado $a: X\to R$ , se obtiene $$P'(a): (E(n)\times X^n)/\Sigma_n \to (E(n)\times R^n)/\Sigma_n \to R.$$ Si se restringe a la copia diagonal de $X$ en $X^n$ , se obtiene un mapa $$P(a):E(n)/\Sigma_n \times X\to R.$$

Si $n=2$ entonces $E(2)/\Sigma_2$ es lo que Hatcher parece llamar $L^\infty$ es el espacio real infinito proj. $RP^\infty$ . Así que $P(a)$ representa un elemento en $H^* RP^\infty \times X \approx H^*X[x]$ los coeficientes de este polinomio en $x$ son las operaciones de Steenrod en $a$ .

Otras teorías de cohomología tienen operaciones de potencia (para la teoría K, son las operaciones de Adams).

También se pueden describir los cuadrados de steenrod directamente en el nivel de la cadena: el relato en el libro de Steenrod y Epstein es el mejor lugar para encontrar la descripción del nivel de la cadena.

Answer 2

Así es como explico los cuadrados de Steenrod a los geómetras. En primer lugar, si $X$ es un colector de dimensión $d$ entonces se pueden producir clases en $H^n(X)$ mediante mapas adecuados $f: V \to X$ donde $V$ es un colector de dimensión $d-n$ a través de muchos formalismos posibles - por ejemplo, la teoría de la intersección (el valor en un $n$ -es el recuento de los puntos de intersección), o utilizando la clase fundamental en la homología localmente finita y la dualidad, o las clases Thom, o como el pushforward $ f_*(1)$ donde $1$ es la clase de unidad en $H^0(V)$ . Tomando este último enfoque, supongamos $f$ es una inmersión y por tanto tiene un haz normal $\nu$ . Si $x = f_*(1) \in H^n(X)$ entonces $Sq^i(x) = f_*(w_i(\nu))$ . Esta es esencialmente la fórmula Wu.

Es decir, si las clases de cohomología están representadas por submanifolds, y por ejemplo el producto de copa refleja los datos de intersección, entonces los cuadrados de Steenrod recuerdan los datos del haz normal.

Answer 3

Piensa en ello como en la teoría de categorías; no basta con definir los objetos, también hay que tener morfismos. Así que se definen grupos de cohomología, y esos son objetos. Lo que quieres son morfismos entre teorías cohomológicas. Tal morfismo sería de hecho una transformación natural

h(X) --> k(X)

para las teorías de cohomología h y k. Por supuesto, deben ser aditivas, ya que las teorías de cohomología aterrizan en grupos abelianos, y deben preservar la suspensión. Pueden ser graduadas (aumentar o disminuir el grado en una cantidad fija).

Siempre que tengas dos teorías de cohomología h y k querrás calcular este grupo abeliano graduado de operaciones de cohomología. Pero puede ser un trabajo difícil. El caso más sencillo es cuando k=h, en cuyo caso tendrás un anillo (ya que puedes componer transformaciones naturales). Y el caso más sencillo de calcular es cuando h es cohomología de Z/2, cuando la respuesta es el álgebra de Steenrod.

Esto no responde a sus preguntas locales, pero es la respuesta global. La respuesta a tus preguntas locales es básicamente que el producto taza no es conmutativo (graduado) en el nivel de la cadena, y si miras de cerca este fallo, encontrarás que las obstrucciones a la conmutatividad en el nivel de la cadena son las operaciones de Steenrod.

Answer 4

La estructura de "nivel de cadena" a la que otros aludieron se explica en el libro de Mosher y Tangora, que es bastante bueno. La idea es sencilla, pero a menudo se ve envuelta en el álgebra que conlleva.

Como analogía de la teoría de categorías, si tu categoría tiene un producto cartesiano entonces hay isomorfismos de Z x Z → Z x Z por dos razones: primero porque son visiblemente el mismo objeto y así se tiene un morfismo de identidad, y en segundo lugar porque X x Y es siempre isomorfo a Y x X para cualquier X e Y, utilizando un mapa de torsión natural τ. Esto se convierte en un automorfismo de "torsión" natural sobre Z x Z.

Lo mismo ocurre con el producto taza a nivel de co-cadenas. El producto taza (x∪y) de dos cociclos siempre difiere de (y∪x) por un cociente, expresado por una operación natural llamada producto taza-1 (x∪ ₁ y). Pero entonces si z es un cociclo de grado n, (z∪ ₁ z) es siempre un cociclo porque su cofinanciación es la diferencia entre (z∪z) y ella misma. Esta operación natural da la operación de Steenrod superior-pero-uno Sq n-1 en la cohomología mod-2. Los cuadrados superiores juegan el mismo juego; hay un producto copa-2 (x∪ ₂ y) que expresa la diferencia entre (x∪ ₁ y) y (y∪ ₁ x), y (z∪ ₂ z) representa Sq n-2 .

Esto responde a una pregunta muy común: ¿Por qué la fórmula del producto de la copa es tan disparatada y asimétrica? La respuesta es que tiene que serlo, porque las operaciones de Steenrod obstruyen la posibilidad de hacerlo mejor.

El uso de la cohomología del espacio proyectivo real mencionado en las respuestas anteriores es muy inteligente, y los productos taza-i corresponden en ese procedimiento a ciertas celdas de S ∞ pero creo que algo de la historia subyacente se esconde ahí.

Answer 5

Además de las respuestas anteriores, Esta pregunta sobre la comprensión de los cuadrados de Steenrod puede ayudar.

Lo que hace Hatcher que es diferente de, por ejemplo, Steenrod y Epstein como mencionó Charles, es que en lugar de construir algo sobre anillos de cohomología, construye una operación sobre espacios de Eilenberg-Maclane. El $n$ grupo de cohomología de cualquier espacio $X$ con coeficientes en $G$ es naturalmente isomorfo al grupo de clases de homotopía de los mapas de $X$ a un espacio de Eilenberg-Maclane $K(G, n)$ Esta identificación es agradable y funcional, ya que si se mapea $X\rightarrow Y$ puedes mapear $X\rightarrow Y\rightarrow K(G, n)$ para obtener un mapa de pullback en grupos de cohomología. Ahora bien, si se quiere hacer una operación de cohomología, que se puede definir naturalmente sobre grupos de cohomología para cualquier $X$ Todo lo que necesitas es una operación $K(G, n)\rightarrow K(H, m)$ y al componer con eso se obtiene un mapa natural $H^n(X; G)\rightarrow H^m(X;H)$ .

Así que la idea de Hatcher es tomar una especie de producto (de choque) de $K(\mathbb Z/2, n)$ (que él llama $K_n$ ) con ella misma, y mapear eso a $K_{2n}$ de manera que sea como el cuadrado de la copa-producto en la dimensión $n$ ya que $Sq^n(\alpha)=\alpha^2$ cuando $\alpha$ es de dimeniosn $n$ . Más explícitamente, ya que $H^n(X\wedge X)$ es isomorfo a $H^n(X)\otimes H^n(X)$ por la fórmula de Kunneth, se trata de encontrar un elemento de $H^{2n}(X\wedge X)$ que es el cuadrado del producto de la copa. Su notación NO es estándar.

Intuitivamente, la idea es hacer esto para $K_n$ para que funcione en todos los $X$ y poner las copias de $K_n$ de nuevo mediante el cociente de un $\mathbb Z/2$ acción. Pero el $\mathbb Z/2$ -acción sobre $K_n\wedge K_n$ dado por el cambio no es libre, por lo que para hacerlo libre toma $S^\infty\times K_n\wedge K_n$ y utiliza el mapa antipodal en $S^\infty$ al mapa $(x, y, z)$ a $(-x, z, y)$ y dar un $\mathbb Z/2$ acción. (Las coordenadas aquí están realmente en $S^\infty\times K_n\times K_n$ ). Luego, todo el resto de la construcción consiste en lidiar con las cosas adicionales que $\mathbb RP^\infty$ te da, y a partir de ahí puede calcular lo que ocurre con los elementos de homología de $\wedge X$ cuando se asigna a $K_{2n}$ . Eso te dice la acción de $Sq^{n-i}$ en $H^i(X)$ .

Espero que eso ayude.