Evaluar el límite de una determinada integral definida

Question

Dejemos que $\displaystyle f(x)= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\int_0^x ze^{-(\epsilon)^{-1}\tan^2z}dz$ para $x\in[0,\infty)$ .

Evaluar $f(x)$ en forma cerrada para todo $x\in[0,\infty)$ y dibujar una gráfica de esta función.

Se agradecen las pistas, así como las soluciones para esta pregunta :-)

Edición: Hasta ahora, tengo, de sustituir $\sqrt{\epsilon}u$ = z,

$\displaystyle f(x)= \lim_{\epsilon \to 0} \int_0^{\sqrt{\epsilon}u} \sqrt{\epsilon}ue^{-(\epsilon)^{-1}\tan^2\sqrt{\epsilon}u}du$

Pero podemos dividir la integral en dos términos, con la primera integral igual a cero, por el teorema de convergencia dominada. Creo que sólo tenemos que mirar:

$\displaystyle f(x)= \lim_{\epsilon \to 0} \int_0^{a} \sqrt{\epsilon}ue^{-(\epsilon)^{-1}\tan^2\sqrt{\epsilon}u}du$ + $\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \int_a^{\sqrt{\epsilon}u} \sqrt{\epsilon}ue^{-(\epsilon)^{-1}\tan^2\sqrt{\epsilon}u}du$

\= $$0+\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \int_a^{\sqrt{\epsilon}u} \sqrt{\epsilon}ue^{-(\epsilon)^{-1}\tan^2\sqrt{\epsilon}u}du$$

(No estoy seguro de que la integración lejos del origen ayude mucho, para ser honesto).

Answer 1

Considere lo que ocurre en un intervalo $[n\pi-\frac\pi2,n\pi+\frac\pi2]$ . Sea $x=\tan(z)$ y $u=x/\sqrt{\epsilon}$ entonces $$ \begin{align} \lim_{\epsilon\to0}\frac1{\sqrt{\epsilon}}\int_{n\pi-\frac\pi2}^{n\pi+\frac\pi2}e^{-\tan^2(z)/\epsilon}\,\mathrm{d}z &=\lim_{\epsilon\to0}\frac1{\sqrt{\epsilon}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/\epsilon}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2}\frac{\mathrm{d}u}{1+\epsilon u^2}\\ &=\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2}\,\mathrm{d}u\\[6pt] &=\sqrt\pi\tag{1} \end{align} $$ Para todos $\epsilon\gt0$ tenemos $$ \frac1{\sqrt\epsilon}e^{-\tan^2(z)/\epsilon}\le\frac{|\cot(z)|}{\sqrt{2e}}\tag{2} $$ Así, para cualquier $\lambda\gt0$ , Convergencia dominada dice $$ \lim_{\epsilon\to0}\frac1{\sqrt{\epsilon}}\int_{n\pi-\frac\pi2}^{n\pi+\frac\pi2}\big[|z-n\pi|\ge\lambda\big]e^{-\tan^2(z)/\epsilon}\,\mathrm{d}z=0\tag{3} $$ donde $[\cdot]$ son Soportes Iverson . Combinando $(1)$ y $(3)$ da $$ \lim_{\epsilon\to0}\frac1{\sqrt{\epsilon}}\int_{n\pi-\frac\pi2}^{n\pi+\frac\pi2}\big[|z-n\pi|\lt\lambda\big]e^{-\tan^2(z)/\epsilon}\,\mathrm{d}z=\sqrt\pi\tag{4} $$ Límites $(3)$ y $(4)$ nos dicen que $\frac1{\sqrt\epsilon}e^{-\tan^2(z)/\epsilon}$ es una aproximación de $$ \sqrt\pi\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta(z-n\pi)\tag{5} $$ donde $\delta(z)$ es el Función delta de Dirac .

Así, $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{\epsilon\to0}\frac1{\sqrt{\epsilon}}\int_0^xz\,e^{-\tan^2(z)/\epsilon}\,\mathrm{d}z =\left\{\begin{array}{} \displaystyle\pi^{3/2}\,\frac{\lfloor x/\pi\rfloor^2+\lfloor x/\pi\rfloor}2&\text{if }x\not\in\pi\mathbb{Z}\\ \displaystyle\pi^{-1/2}\,\frac{x^2}2&\text{if }x\in\pi\mathbb{Z} \end{array}\right.}\tag{6} $$ La trama sería algo así como

Answer 2

NOTA:

Quería dar un agradecimiento especial a @robjon por sus acertados comentarios.

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En primer lugar, observamos que $\lim_{\epsilon\to 0}e^{-\tan z/\epsilon}=0$ a menos que $z=\ell \pi$ , $\ell$ un número entero. Por lo tanto, toda la "acción" de la integración tendrá lugar en intervalos alrededor de $\ell \pi$ . Así pues, veamos primero lo que ocurre para $0<x<\pi/2$ .

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En el espíritu de Método de Laplace tenemos para $0<z<\pi/2$ , $\tan^z =z^2+O(z^4)$ y por lo tanto para $0<x<\pi/2$

$$\begin{align} \epsilon^{-1/2}\int_0^xze^{-\tan^2z/\epsilon}dz&\sim\epsilon^{-1/2}\int_0^xze^{-z^2/\epsilon}dz\\\\ &=\epsilon^{-1/2}\left.\left(-\epsilon^{-z^2/\epsilon}\right)\right|_{z=0}^{z=x}\\\\ &=\epsilon^{1/2}\left(1-e^{-x^2/\epsilon}\right) \end{align}$$

que claramente va a cero como $\epsilon\to 0$ .

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A continuación, observamos que la integración alrededor de las singularidades de la función tangente no plantea ningún problema. Así, para una $(L-1)\pi<x<L\pi$ y $\delta >0$ podemos escribir

$$\begin{align} \epsilon^{-1/2}\int_0^x ze^{-\tan^2z/\epsilon}dz&=\epsilon^{-1/2}\sum_{\ell=0}^{L-2}\left(\int_{\ell \pi+\delta}^{(\ell+1)\pi-\delta}ze^{-\tan^2z/\epsilon}dz+\int_{(\ell+1)\pi-\delta}^{(\ell+1)\pi+\delta}ze^{-\tan^2z/\epsilon}dz\right)\\\\ &+\epsilon^{-1/2}\int_{(L-1)\pi+\delta}^{x}ze^{-\tan^2z/\epsilon}dz \tag 1\\\\ \end{align}$$

Observamos que en $(1)$ las únicas integrales que contribuirán en el límite como $\epsilon \to 0$ son aquellos en torno a múltiplos enteros de $\pi$ . Así, tenemos para $(L-1)\pi<x<L\pi$ y $\delta>0$

$$\begin{align} \lim_{\epsilon \to 0}\epsilon^{-1/2}\int_0^x ze^{-\tan^2z/\epsilon}dz&=\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{-1/2}\sum_{\ell=0}^{L-2}\left(\int_{(\ell+1)\pi-\delta}^{(\ell+1)\pi+\delta}ze^{-\tan^2z/\epsilon}dz\right) \tag 2\\\\ \end{align}$$

Procedemos a evaluar las integrales en $(2)$ . Para ello tenemos

$$\begin{align} \epsilon^{-1/2}\int_{(\ell+1)\pi-\delta}^{(\ell+1)\pi+\delta}ze^{-\tan^2z/\epsilon}dz &=\epsilon^{-1/2}\left(\int_{-\delta}^{\delta}ze^{-\tan^2z/\epsilon}dz+(\ell +1)\pi\int_{-\delta}^{\delta}e^{-\tan^2z/\epsilon}dz\right)\\\\ &=(\ell +1)\pi\epsilon^{-1/2}\int_{-\delta}^{\delta}e^{-\tan^2z/\epsilon}dz\\\\ &\sim (\ell +1)\pi\epsilon^{-1/2}\int_{-\delta}^{\delta}e^{-z^2/\epsilon}dz\\\\ &= (\ell +1)\pi\int_{-\delta/\epsilon^{1/2}}^{\delta/\epsilon^{1/2}}e^{-z^2}dz\\\\ &\to (\ell +1)\pi^{3/2} \end{align}$$

Suma de $\ell$ encontramos para $(L-1)\pi<x<L\pi$

$$\lim_{\epsilon \to 0}\epsilon^{-1/2}\int_0^xze^{-\tan^2z/\epsilon}dz=\frac{L(L-1)\pi^{3/2}}{2}$$

Una última nota se refiere al caso en que $x=L\pi$ . Para este caso, vemos que hay que añadir una integral más, a saber

$$\begin{align} \lim_{\epsilon\to 0}\epsilon^{-1/2}\int_{L\pi-\delta}^{L\pi}ze^{-\tan^z/\epsilon}&=L\pi\int_{-\infty}^0e^{-z^2}dz\\\\ &=\frac12 L\pi^{3/2} \end{align}$$

Así, para $x=L\pi$ tenemos

$$\lim_{\epsilon \to 0}\epsilon^{-1/2}\int_0^xze^{-\tan^2z/\epsilon}dz=\frac{L^2\pi^{3/2}}{2}$$

Si lo juntamos todo, tenemos

$$\lim_{\epsilon \to 0}\epsilon^{-1/2}\int_0^xze^{-\tan^2z/\epsilon}dz= \begin{cases} \frac{L(L-1)\pi^{3/2}}{2},&(L-1)\pi<x<L\pi\\\\ \frac{L^2\pi^{3/2}}{2},&x=L\pi \end{cases} $$

Answer 3

Para los pequeños $\epsilon$ , $\tan^2(\sqrt{\epsilon} u ) \approx \epsilon u^2$ , por lo que la integral es de aproximadamente $\sqrt{\epsilon}u e^{-u^2}$ que se pueden integrar.