¿Cuál es la prueba para $\sqrt{-a}\times\sqrt{-b}\neq\sqrt{ab},\text{ where }a,b\in \mathbb{R}$

Question

Habiendo aprendido sobre $i$ en mi 10 $^{th}$ En el aula de grado me interesan las pruebas que subyacen a las reglas para las manipulaciones algebraicas con números imaginarios; tal comprensión creará un mayor aprecio por estos fundamentos matemáticos.

Sin darnos una razón, nos dijeron que $\sqrt{-a}*\sqrt{-b}\neq\sqrt{ab},\text{ where }a,b\in \mathbb{R}$ .

He probado por mi cuenta (no sé si mi intento es correcto y reconozco lo relativamente rudimentario que es, aunque estoy empezando) que

Necesito probar $\sqrt{-a}*\sqrt{-b}\neq\sqrt{ab},\text{ where }a,b\in \mathbb{R}$ . Así que empiezo asumiendo que la prueba es válida para todos $b_1,b_2\in \mathbb{R}$ y no sólo $\mathbb{R}^{-}$ y tratar de demostrar por medio de la contradicción que esto no funcionará. Pero por lo que veo, sí funciona. Entonces, ¿en qué me estoy equivocando?

Tal vez sea que una vez que existen los números imaginarios este sistema se desmorona porque $\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}=-1$ ¿así que realizas algún tipo de concordancia de patrones?

Obviamente $-1$ es un caso especial.

No tengo claro cómo resolver esto. Se agradecería un poco de claridad.

Answer 1

En la línea tres se utiliza el hecho de que para los reales positivos $a,b$ de $a^n=b^n$ se deduce que $a=b$ . Esto ya no es cierto para los números complejos (ni siquiera para los números reales). Por ejemplo $i^4=1^4$ pero ciertamente no tenemos $i=1$

Además, mostrar que la prueba anterior no funciona para números pares no demuestra que el teorema sea incorrecto. Para demostrar que el teorema es erróneo sólo hay que dar un contraejemplo. Como ya has señalado $a=b=-1$ haría el trabajo.