¿Qué significa "linealmente disjuntos" para las extensiones de campos abstractos?

Question

Todas las definiciones que he visto para la afirmación " $E,F$ son extensiones linealmente disjuntas de $k$ "sólo tienen sentido cuando $E,F$ se dan como subcampos de un campo más amplio , digamos que $K$ . Estoy contento con la equivalencia de las distintas definiciones que he visto en este caso. La de Lang Álgebra VIII.3-4 y (gracias a Pete) Zariski & Samuel's Álgebra Conmutativa 1 II.15-16 tienen una buena cobertura de esto.

Definiciones de "ambiente" de desunión lineal:

Wikipedia dice que significa el mapa $E\otimes_k F\to E.F$ es inyectiva , donde $E.F$ denota su compositum en $K$ el subcampo más pequeño de $K$ que contiene a ambos.

Una condición equivalente (y asimétrica) es que cualquier subconjunto de $E$ que es linealmente independiente sobre $k$ es también son linealmente independientes sobre $F$ (de ahí el nombre); todo esto ocurre dentro de $K$ .

Sin embargo, a menudo veo que el término se utiliza para extensiones de campo que son NO son subcampos de uno mayor , incluso cuando las extensiones de campo no son algebraicas (por lo que no hay una suposición tácita de que vivan en la clausura algebraica). A continuación se dan algunos ejemplos de estas situaciones.

Pregunta: ¿Cuál es la definición de "linealmente disjuntos" para las extensiones de campo que no se especifican dentro de un campo mayor?

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RESPUESTA: (Después de leer las útiles respuestas de Pete L. Clark, Hagen Knaf, Greg Kuperberg y JS Milne -- ¡gracias chicos! -- ahora tengo un análisis satisfactorio y bastante exhaustivo de la situación).

Hay dos posibles nociones de disyunción lineal abstracta para dos extensiones de campo $E,F$ de $k$ ( pruebas de abajo ):

(1) " En algún lugar linealmente disjuntos", es decir
" Existe una extensión $K$ con mapas $E,F\to K$ Las imágenes de $E,F$ son linealmente disjuntos en $K$ ."
Esto equivale al producto tensorial $E\otimes_k F$ siendo un dominio .

(2) " En todas partes linealmente disjuntos", es decir
" Para cualquier extensión $K$ con mapas $E,F\to K$ las imágenes de $E,F$ son linealmente disjuntos en $K$ ."
Esto equivale al producto tensorial $E\otimes_k F$ siendo un campo.

Resultados:

(A) Si o bien $E$ o $F$ es algebraico, entonces (1) y (2) son equivalentes.

(B) Si ni $E$ ni $F$ es algebraico, entonces (2) es imposible.

Dependiendo de cuándo se lean correctamente los teoremas, no estoy seguro de cuál de ellos debería ser la definición "correcta"... (1) se aplica en más situaciones, pero (2) es una buena hipótesis para descartar implícitamente los pares de extensiones trascendentales. Así que voy a recordar las dos :)

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PROOFES: (para los futuros frustrados de la desunión lineal)

(1) Desunión lineal en algún campo $K$ según la definición de Wikipedia, significa que el producto tensorial inyecta a $K$ , convirtiéndolo en un dominio. A la inversa, si el producto tensorial es un dominio, entonces $E,F$ son linealmente disjuntos en su campo de fracciones.

(2) Si el producto tensorial $E\otimes_k F$ es un campo, ya que cualquier mapa de un campo es inyectivo, por la definición de Wikipedia anterior, $E,F$ son linealmente disjuntos en cualquier $K$ . Por el contrario, si $E \otimes_k F$ es no un campo, entonces tiene un ideal máximo no trivial $m$ con el campo cociente digamos $K$ y luego desde $E\otimes_k F\to K$ tiene un núcleo no trivial $m$ por definición $E,F$ no son linealmente disjuntos en $K$ .

(A) Dos extensiones de campo cualesquiera tienen algunos extensión común (tomar un cociente de su producto tensorial por cualquier ideal maximal), por lo que (2) siempre implica (1).

Ahora mostremos primero que (1) implica (2) suponiendo $E/k$ es un finito extensión. Por hipótesis el producto tensorial $E\otimes_k F$ es un dominio, y de dimensión finita como $F$ -y un dominio de dimensión finita sobre un campo es automáticamente un campo: la multiplicación por un elemento es inyectiva y, por tanto, suryectiva por dimensionalidad finita sobre $F$ por lo que tiene un mapa inverso, y la imagen de $1$ bajo este mapa es un inverso para el elemento. Por lo tanto (1) implica (2) cuando $E/k$ es finito.

Por último, suponiendo (1) y sólo que $E/k$ es algebraico, podemos escribir $E$ como unión de sus subextensiones finitas $E_\lambda/k$ . Dado que la tensorización con campos es exacta, $E_\lambda\otimes_k F$ naturalmente incluye en
$E\otimes_k F$ , convirtiéndolo en un dominio y, por tanto, en un campo por el argumento anterior. Entonces $E\otimes_k F$ es una unión de campos, por lo que es un campo, demostrando que (1) implica (2).

(B) Esto es fácil. Dejemos que $t_1\in E$ , $t_2\in F$ ser elementos trascendentales. Identificar $k(t)=k(t_1)=k(t_2)$ por $t\mapsto t_1 \mapsto t_2$ , haciendo que $E$ , $F$ extensiones de $k(t)$ . Sea $K$ sea una extensión común de $E,F$ en $k(s)$ (cualquier cociente de $E\otimes_{k(s)} F$ por un ideal máximo). Entonces $E,F$ no son linealmente disjuntos en $K$ porque su intersección no es $k$ : por ejemplo, el conjunto { $1,t$ } $\subseteq E$ es linealmente independiente sobre $k$ pero no sobre $F$ por lo que no son linealmente disjuntos por la definición equivalente en la parte superior.

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Ejemplos en la literatura de la disyunción lineal referida a extensiones de campos abstractos:

• Eisenbud, Álgebra conmutativa El teorema A.13 (p.564 en mi edición) dice, en la característica $p$ ,

" $K$ es separable sobre $k$ si $k^{1/p^{\infty}}$ es linealmente disjunta de $K$ ."

• Liu, Geometría algebraica y curvas aritméticas El Corolario 2.3 (c) (p. 91) dice, para una variedad algebraica integral $X$ sobre un campo $k$ con campo de función $K(X)$ ,

" $X$ es geométricamente integral si $K(X)$ y $\overline{k}$ son linealmente disjuntos sobre $k$ .

( Seguimiento: Como en estas dos situaciones, una extensión es algebraica, las dos definiciones resumidas en la respuesta anterior son equivalentes, por lo que todo es fantástico).

Edición antigua: Mi primera suposición fue (y sigue siendo) decir que el producto tensorial es un dominio...

Answer 1

El significado razonable tras el ejemplo (1) parece ser que $E \otimes_k F$ es un campo. Si es así, entonces es isomorfo a todo compositum. Si no, entonces existe un compositum dentro del cual no son linealmente disjuntos.

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No tengo (todavía) el apoyo de los votantes, pero me mantengo firme. :-)

En primer lugar, es evidente que si $E \otimes_k F$ es un campo, entonces es isomorfo a todo compositum.

En segundo lugar, si $E \otimes_k F$ no es un campo, entonces existe un compositum en el que $E$ y $F$ no son linealmente disjuntos. Tiene un campo cociente no trivial, y ese campo puede servir como compositum. Como señala Pete Clark, hay una diferencia entre el caso de que $E \otimes_k F$ es un dominio integral y el caso de que tenga divisores cero. (Y Pete tiene razón en que me olvidé de esta distinción.) En el primer caso, existe un compositum en el que son linealmente disjuntos, a saber, el campo de fracciones de $E \otimes_k F$ . En este último caso, $E$ y $F$ no son linealmente disjuntos en ningún compositum.

Si $E$ y $F$ son ambas extensiones trascendentales, entonces hay dos criterios diferentes: Débilmente linealmente disjuntos, cuando $E \otimes_k F$ es un dominio integral, y fuertemente linealmente disjunto, cuando es un campo. La condición que consideres más importante depende de ti. En los ejemplos de Andrew, $E$ y $F$ no son ambos trascendentales, así que la distinción es discutible.

(Necesitaba pensar en esta cuestión en Las categorías tensoriales finitas, conexas, semisimples y rígidas son lineales .)

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En realidad, lo anterior no es toda la historia. Si $E$ y $F$ son ambas trascendentales, entonces son extensiones de extensiones puramente trascendentales $E'$ y $F'$ . $E'$ y $F'$ son sólo débilmente linealmente disjuntos, y por lo tanto $E$ y $F$ también lo son. Así que la distinción es siempre discutible. La intuición de Pete y Andrew fue más correcta todo el tiempo. La afirmación correcta es que cuando $E$ y $F$ son ambas trascendentales, las extensiones linealmente disjuntas tienen un comportamiento diferente.

Answer 2

Sólo he visto el concepto de "disyunción lineal abstracta de $K_1, K_2$ en $k$ " se utiliza cuando al menos una de las k-álgebras se puede incrustar en el cierre algebraico de la otra. (Es decir, sólo en este caso se puede omitir el campo ambiente). Los dos ejemplos anteriores son de esta forma.

En general, no creo que el concepto de "disyunción lineal abstracta" tenga mucho sentido. Por ejemplo, consideremos dos extensiones de campo puramente trascendentales de $k$ , digamos que $k(s)$ y $k(t)$ con s y t indeterminados algebraicamente independientes. (¡Incluso esta afirmación parece estar hablando implícitamente de algún sobrecampo!) La construcción del producto tensorial no ve la diferencia entre $k(s) \otimes_k k(t)$ y
$k(t) \otimes_k k(t)$ pero dentro de k(s,t), k(s) y k(t) son linealmente disjuntos y k(t) y k(t) no lo son.

También hay una vocecita dentro de mi cabeza que dice que, cuando es aplicable, el criterio correcto para la disyunción lineal es que el producto tensorial sea un dominio, no un campo (como dice Greg Kuperberg). De hecho, ¿no es eso lo que ocurre en mi ejemplo $k(s) \otimes_k k(t)$ dentro de k(s,t) arriba? Pero voy a ignorar esta vocecita y me voy a acostar. Veremos qué nos depara el día de mañana.

Answer 3

Considere todos los campos como subcampos del cierre algebraico de K (o K(X)). Más precisamente, elija un cierre algebraico de K y forme $k^{1/p^{\infty}}$ en su interior.

Añadido: La disyunción lineal es sólo definidos para subcampos de algún campo grande. Si se elige un cierre algebraico diferente de K, entonces un isomorfismo de éste al primero llevará $k^{1/p^{\infty}}$ en $k^{1/p^{\infty}}$ (con mi definición), por lo que se obtiene una situación isomórfica. Una observación similar se aplica al segundo ejemplo (toma $\bar k$ para ser el cierre algebraico de k en un cierre algebraico de K(X)). Por eso algunos autores no se molestan en explicitarlo (a juzgar por esta discusión, deberían hacerlo).

No hay ninguna ambigüedad.

Answer 4

La disyunción lineal y su relación con los productos tensoriales se explica en detalle en Zariski+Samuel, Commutative Algebra - he olvidado qué volumen de los dos.

Hay disyunción lineal sobre $k$ de dos $k$ -algebras $A,B$ se define sólo para las álgebras que están contenidas en algún anillo mayor $C$ .

El producto tensorial se introduce como sigue: un producto de $A$ y $B$ es un $k$ -Álgebra $C$ y $k$ -morfismos de álgebra $f:A\rightarrow C$ , $g:B\rightarrow C$ tal que la subálgebra más pequeña de $C$ que contiene $f(A),g(B)$ es $C$ sí mismo.

Un producto $C$ de $A$ y $B$ se llama producto tensorial, si $f(A)$ y $g(B)$ son linealmente disjuntos sobre $k$ .

En cuanto al caso de dos extensiones de campo $E,F$ de $k$ uno de los cuales es algebraico sobre $k$ ( $F$ digamos) se tiene un mapa suryectivo $E\otimes_k F\rightarrow E.F$ , donde $E.F$ denota el subring más pequeño del cierre algebraico de $E$ que contiene $E$ y $F$ .

Desde $F/k$ es algebraico, $E.F$ también es el subcampo más pequeño que contiene $E$ y $F$ .

Obtenemos las declaraciones equivalentes:

(1) $E$ y $F$ son linealmente disjuntos sobre $k$ dentro del cierre algebraico de $E$ .

(2) el producto tensorial $E\otimes_k F$ es un campo.