Potencias superiores de la relación de una matriz con su traza

Question

Dejemos que $A=[a_{ij}]$ , donde $a_{ij}=u_{i}v_{j}, 1 \leq i \leq n$ y $1\leq j \leq n$ y $u_i,v_j$ pertenecen a $R$ satisface $A^5=16A$ . Encuentra la traza(A).

Denoté U como una matriz de columnas que tiene valores u1,u2,...,un. Y V una matriz de filas con valores v1,v2,...,vn. De modo que A=UV.

Pero no puedo seguir adelante. Evaluar A^5 sería muy tedioso, así que creo que se me escapa el truco de esta pregunta.

También retrocediendo en la respuesta, creo que $A^5=(trace(A))^4A$ . ¿Hay alguna manera fácil de probar esto?

Answer 1

Su matriz $A$ puede escribirse de forma más precisa como $A=uv^T$ donde $u,v$ se consideran vectores columna, por lo que $u$ es $n\times 1$ y $v^T$ es $1\times n$ por lo que el producto es $n\times n$ . Por otra parte, observe que $v^Tu$ es un $1\times n$ multiplicado por $n\times 1$ que es un escalar, y debe ser igual a la traza de $A$ (ya que $\textrm{Tr}(XY)=\textrm{Tr}(YX)$ en general).

Entonces $$A^5=(uv^T)^5=u(v^Tu)^4v^T=(\textrm{Tr}A)^4 \cdot A.$$

Por lo tanto, o bien $(\textrm{Tr}A)^4=16$ o $\textrm{Tr}A=0$ por lo que el conjunto de soluciones es $$ \textrm{Tr}A\in \{-2,0,2\}. $$

Answer 2

Los valores propios de $A$ son raíces de $x^5=16x$ y así están en $\{0,\pm 2, \pm 2i\}$ .

$A=uv^T$ implica que $A$ tiene un rango máximo de $1$ . Por lo tanto, $0$ es un valor propio de $A$ de multiplicidad al menos $n-1$ .

Así, el rastro de $A$ que es la suma de sus valores propios, es uno de los valores propios y por tanto está en $\{0,\pm 2, \pm 2i\}$ .

Si $A$ es real, entonces ese valor propio debe ser real porque no hay lugar para su conjugado. En este caso, la traza de $A$ está en $\{0,\pm 2\}$ .

Answer 3

Tenemos $A=uv^T$ y así el rastro de $A$ es $\tau=\sum_i u_i v_i = v^T u$ .

Entonces $Au = (uv^T)u = u(v^T u) = \tau u$ . Por lo tanto, $A^5 u = \tau^5 u$ y así $\tau^5 u = 16\tau u$ .

Si $u=0$ entonces $A=0$ y así $\tau=0$ .

Si $u\ne0$ entonces $\tau^5 = 16\tau$ y así $\tau \in \{0,\pm 2, \pm 2i\}$ . Si $A$ es real, entonces $\tau \in \{0,\pm 2\}$ .