Encuentra el determinante de esta matriz.

Question

Tengo la matriz \begin{equation*} A=\left( \begin{array}{ccccccc} a & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & b \\ 0 & a & 0 & \ldots & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a & \ldots & b & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & b & \ldots & a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & \ldots & 0 & a & 0 \\ b & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & a \\ \end{array} \(derecha) \fin{ecuación*}

f $2n$ tamaño (número de columnas y filas). Necesito encontrar su determinante utilizando una fórmula tradicional:

$$\det A = \sum_{\sigma \in S_{2n}}{\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=0}^{2n}{A_{i\sigma(i)}}}$$

Donde $\text{sgn}(\sigma)$ es $(-1)^{inv(\sigma)}$ y $inv(\sigma)$ es el número de inversiones en $\sigma$ .

Es fácil ver que los términos no nulos en serán si y sólo si $\sigma(i) \in \{i, 2n - i + 1\}$ .

Así que, la respuesta para mí parece: $\text{sgn}(\sigma_1)a^{k_1}b^{2n - k_1} + \text{sgn}(\sigma_2)a^{k_2}b^{2n - k_2}\ldots$ . (donde cada $sgn(\sigma_i)$ es $\pm1$ ).

Pero no tengo ni idea de cómo ampliar esto y contar todo $\sigma$ 's.

Answer 1

Tenemos que centrarnos en las permutaciones $\sigma \in S_{2n}$ tal que $\sigma(i) \in\{i, 2n-i+1\}$ para todos $i \in \{1, \ldots, 2n\}$ .

Para determinar de forma única dicha permutación, tenemos que elegir $k$ números de $1, 2, \ldots, n$ que serán puntos fijos de $\sigma$ . Si $i$ es uno de los restantes $n-k$ números, a continuación, establezca $\sigma(i)=2n-i+1$ .

La acción de $\sigma$ en $n+1, \ldots, 2n$ se determina ahora de forma única así: $$\sigma(i) = \begin{cases} 2n-i+1, &\quad\text{if }i \in \sigma(\{1,\ldots, n\}),\\ i, &\quad\text{otherwise}.\\\end{cases}$$

Para encontrar el signo de $\sigma$ , fíjese que $\sigma$ es una composición de $n-k$ transposiciones $(i, 2n-i+1)$ cada uno con su signo $-1$ así que $\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{n-k}$ .

Ahora bien, si $i$ es un punto fijo de $\sigma$ puis $A_{i\sigma(i)} = a$ y por otra parte $A_{i\sigma(i)} = b$ . Desde $\sigma$ como el anterior tiene $2k$ puntos fijos y $2n-2k$ otros puntos, se obtiene el producto $a^{2k}b^{2n-k}$ en la fórmula del determinante.

En total, obtenemos

$$\det A = \sum_{\sigma \in S_{2n}} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{2n} A_{i\sigma(i)} = \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}(-1)^{n-k} a^{2k}b^{2n-2k} = (a^2-b^2)^n.$$

Answer 2

Esto es simplemente el valor $(a^2-b^2)^n$