Sobre una igualdad de (valores absolutos de) números complejos

Question

Estaba considerando la igualdad de los números complejos, que me parecía verdadera, pero no podía proceder a la prueba.

Supongamos que $z_1,z_2,\cdots,z_k$ sean números comples con $|z_i|=1$ . Si $|z_1+\cdots+z_k|=k$ entonces es necesario que todos $z_i$ ¿Son iguales? Me parece que es cierto, pero....proof?

Answer 1

Es una mera aplicación del famoso desigualdad del triángulo . Y por esta desigualdad, podemos decir que $$|z_1|+|z_2|+|z_3|+\ldots+|z_k| \geq |z_1+z_2+z_3+\ldots +z_k| \tag1$$ donde la igualdad se mantiene si y sólo si $z_1=z_2=z_3=\ldots=z_k$

Y como dice su problema, $$(1) \implies 1+1+1+\ldots+1 =k \geq k$$ Así que el caso de la igualdad de la desigualdad del triángulo se mantiene y tu respuesta se deduce de ella.

Espero que esto te ayude.